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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mi 16.06.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Beweise für beliebige Mengen A,B:
A [mm] \subset [/mm] B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B |
Hallo,
diese Aufgabe ist aus Mathematik Vorkursbuch zum Studienbeginn. Bei dem Beweisversuch habe ich das Gefühl, dass ich mich im Kreis drehe ;). Mir ist klar, wenn ich mir die Menge vorstelle, dass die Aussageform korrekt ist. Aber mir fehlt das logische Verständnis für den Beweis.
Hier ist mein Versuch anlalog zu einem vorigen Beweises aus dem Buch:
BEWEIS:
Es ist eine Äquivalenz der Form Aussage1 [mm] \gdw [/mm] Aussage2 zu beweisen. Das geschieht in 2 Schritten:
1) Wir zeigen die Implikation Aussage1 [mm] \Rightarrow [/mm] Aussage2:
A [mm] \subset [/mm] B: Für alle x gilt: x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B
Hieraus wollen wir A [mm] \cup [/mm] B = B folgern.
a) x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B . (Da A [mm] \subset [/mm] B)??
b) x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B)
(Ist damit A [mm] \cup [/mm] B = B in beiden Richtungen des "=" bewiesen? Ich habe das gefühl, dass man eine Aussage bewiest durch eine Aussage, die es eigentlich zu beweisen gilt?)
2)Zur Implikation Aussage2 [mm] \Rightarrow [/mm] Aussage1:
Es sei: A [mm] \cup [/mm] B = B
Ist x [mm] \in [/mm] B, so ist (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B).
Also ist A [mm] \subset [/mm] B.
PS Ich hatte Mathe LK 13 und war recht gut. Aber es ist etwa 12 Jahre her und ich bin ein wenig aus der Materie raus. Vielen Dank an alle, die sich die Mühe machen, mir zu helfen!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweise für beliebige Mengen A,B:
> A [mm]\subset[/mm] B [mm]\gdw[/mm] A [mm]\cup[/mm] B = B
> Hallo,
> diese Aufgabe ist aus Mathematik Vorkursbuch zum
> Studienbeginn. Bei dem Beweisversuch habe ich das Gefühl,
> dass ich mich im Kreis drehe ;). Mir ist klar, wenn ich mir
> die Menge vorstelle, dass die Aussageform korrekt ist. Aber
> mir fehlt das logische Verständnis für den Beweis.
>
> Hier ist mein Versuch anlalog zu einem vorigen Beweises aus
> dem Buch:
>
> BEWEIS:
> Es ist eine Äquivalenz der Form Aussage1 [mm]\gdw[/mm] Aussage2 zu
> beweisen. Das geschieht in 2 Schritten:
>
> 1) Wir zeigen die Implikation Aussage1 [mm]\Rightarrow[/mm]
> Aussage2:
> A [mm]\subset[/mm] B: Für alle x gilt: x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Hieraus wollen wir A [mm]\cup[/mm] B = B folgern.
> a) x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B . (Da A [mm]\subset[/mm] B)??
Wenn du [mm] "$\gdw$" [/mm] benutz brauchst du die andere Richtung nicht mehr zeigen. Diese Beziehung gilt ja auf grund der Voraussetzung.
[mm] $x\in (A\cup B)\gdw x\in [/mm] A [mm] \vee x\in [/mm] B [mm] \gdw x\in [/mm] B$
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> b) x [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B)
> (Ist damit A [mm]\cup[/mm] B = B in beiden Richtungen des "="
> bewiesen? Ich habe das gefühl, dass man eine Aussage
> bewiest durch eine Aussage, die es eigentlich zu beweisen
> gilt?)
Entfällt jetzt somit.
>
> 2)Zur Implikation Aussage2 [mm]\Rightarrow[/mm] Aussage1:
> Es sei: A [mm]\cup[/mm] B = B
> Ist x [mm]\in[/mm] B, so ist (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B).
> Also ist A [mm]\subset[/mm] B.
Ja. Wieder eine Genau-dann-wenn-Beziehung
$ [mm] x\in [/mm] A [mm] \vee x\in [/mm] B [mm] \gdw x\in [/mm] B$
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> PS Ich hatte Mathe LK 13 und war recht gut. Aber es ist
> etwa 12 Jahre her und ich bin ein wenig aus der Materie
> raus. Vielen Dank an alle, die sich die Mühe machen, mir
> zu helfen!!!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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