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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Binu |
Hallo an alle!
Wie immer zu Beginn des Semesters steht man mal wieder komplett auf'm Schlauch und ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Vielen lieben Dank schon mal im vorraus..
Aufgabe 2a) Beweisen Sie, dass von n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen mindestens eine dieser Zahlen durch n teilbar ist.
Ansatz: 1, 2, 3, 4, ... , k, wobei k [mm] \in \IN [/mm] Mir is nun klar, dass mindestens k durch n teilbar ist, aber wie kann ich das beweisen?
Aufgabe 2b) Seien n [mm] \ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl und a1, ... , an verschiedene natürliche Zahlen. Beweisen Sie, dass entweder eine der Zahlen a1, ... , an durch n teilbar ist oder, dass Zahlen as < at [mm] \in \{a1, ... , an \} [/mm] existieren, so dass at - as durch n teilbar ist.
Ansatz: ?!? ;-(
Aufgabe 3) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 1 und m [mm] \ge [/mm] 1, die die Gleichung n * m = 2 * n plus 2 * m erfüllen! Begründen Sie ihre Antwort!
Ansatz: Habe nun einfach mal n [mm] \le [/mm] m vorausgesetzt und die einzelnen Fälle n=1 usw. durchprobiert - habe bisher allerdings nur 4 [mm] \le [/mm] 4 als Ergebnis...
Vielen lieben Dank...
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Hallo Binu
ad 1) Sei m [mm] $\in \IN$ [/mm] Zeige eine der n Zahlen m, m+1, [mm] $\ldots$, [/mm] n+n-1 ist durch n teilbar. Division mit Rest: m=q*n+r, 0 [mm] $\le$ [/mm] r < n.
Entweder ist der Rest gleich 0 und m durch n teilbar, oder eben nicht.
In diesem Fall ist m+(n-r) durch n teilbar.
m+(n-r) = q*n+r+n-r = (q+1)*n
ad 2) Die n Zahlen können höchstens n verschiedene Reste nach Division durch n haben. Entweder tritt der Rest 0 auf, auf eine Zahl ist durch n teilbar, oder ein Rest tritt zwei Mal auf. Dann muss die Differenz dieser Zahlen durch n teilbar sein. Denn
as = qs*n+r
at = qt*n+r
=>at-as=qt*n+r - (qs*n+r) = (qt-qs)*n
ad 3) Wären m [mm] $\le$2, [/mm] so hätte man
m*n [mm] $\le$ [/mm] 2*n < 2*m + 2*n. Also muss m mindestens gleich 3 sein. Das selbe gilt dann für m. Für m=3 erhält man n=6. Für m=4 erhält man n=4.
Wie man leicht sieht, ist das auch die einzige Lösung mit m=n.
Sei nun also 4<m<n. (Der Rest ist ja erledigt.) Dann gilt:
4*n < m*n = 2*m+2*n < 2*n + 2*n = 4*n
Widerspruch!. Also gibt es keine weiteren Lösungen.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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