Beweise zu Unterräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich möchte zeigen, dass unter der Voraussetzung, dass U1 und U2 Unterräume von V folgt, dass auch der Durchschnitt von U1 und U2 und auch die Summe U1+U2 Unterräume sind. |
Mir fehlt hier jede "Beweisidee". Die Eigenschaften der Unterräume, gelten doch wohl offensichtlich für gemeinsame Elemente beider Telmengen? Noch deutlicher scheint mir das bei der Summe. Geht es hier um den Nachweis der Abgeschlossenheit?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich möchte zeigen, dass unter der Voraussetzung, dass U1
> und U2 Unterräume von V folgt, dass auch der Durchschnitt
> von U1 und U2 und auch die Summe U1+U2 Unterräume sind.
> Mir fehlt hier jede "Beweisidee". Die Eigenschaften der
> Unterräume, gelten doch wohl offensichtlich für gemeinsame
> Elemente beider Telmengen? Noch deutlicher scheint mir das
> bei der Summe. Geht es hier um den Nachweis der
> Abgeschlossenheit?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hallo,
ganz so offensichtlich ist es nicht. die vereinigung von untervektorräumen ist z.b. in der regel kein vektorraum. Du sollst hier nachweisen, dass der Durchschnitt zweier Untervektorräume von V wieder ein Untervektorraum von V ist, das heißt im Klartext: wende das untervektorraumkriterium an, das müsstest ihr in der vorlesung gehabt haben. falls nicht:
1) Zeige, dass [mm] $U_1 \cap U_2\not=\emptyset$
[/mm]
2) Zeige die Abgeschlossenheit bzgl. $ "+" $, also wenn [mm] $v_1,v_2\in U_1 \cap U_2$, [/mm] dann ist auch [mm] $v_1+v_2 \in U_1 \cap U_2$
[/mm]
3) Zeige Abgeschlossenheit der skalaren Multiplikation, also wenn $v [mm] \in U_1 \cap U_2$ [/mm] und [mm] $\lambda \in [/mm] K$, dann gilt auch stets [mm] $\lambda [/mm] v [mm] \in U_1 \cap U_2$
[/mm]
1) ist äquivalent zu $0 [mm] \in U_1 \cap U_2 [/mm] $, jetzt musst du nur begründen warum die 0 in [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] sein muss...Überlege dir hierzu dass ja [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] bereits Vektorräume sind und somit beide die 0 enthalten, klar dass 0 dann auch im Durchschnitt liegt...
viel spaß bei 2) und 3)... bei [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm] läuft das dann sehr ähnlich...
lieben gruß
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vielen Dank, da war ich doch mit meiner Vermutung über die Abgeschlossenheit nicht ganz so daneben. Gerade da stehe ich im Augenblick aber noch im Dunkeln. Das mit der Vereinigung ist übrigens auch noch gefragt , ichdenke, da tut es dannein Gegenbeispiel?
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> vielen Dank, da war ich doch mit meiner Vermutung über die
> Abgeschlossenheit nicht ganz so daneben. Gerade da stehe
> ich im Augenblick aber noch im Dunkeln.
Hallo,
nehmen wir erstmal U+V - der ist geringfügig schwieriger.
Du möchtest die Unterraumkriterien anwenden, da Du es mit einer Teilmenge eines VRes zu tun hast.
Die Kriterien:
1. U+V [mm] \not=\emptyset
[/mm]
2. Für [mm] x,y\in [/mm] U+V ist auch [mm] x,y\in [/mm] U+V
3. Für jedes [mm] \lambda \in [/mm] K und [mm] x\in [/mm] U+V ist auch [mm] \lambda*x\in [/mm] U+V.
zu 1. Einfach ein Element angeben.
zu. 2. Seine [mm] x,y\in [/mm] U+V .
Dann ist x= ...+... und y=...+... mit ...
Nun addieren und so sortieren, daß jeder glaubt, daß das Ergebnis in U+V liegt.
Es ist sehr, sehr einfach.
zu 3.
Sehr ähnlich.
Wenn Du das hast, wird [mm] U\caß [/mm] V einfach sein.
Zu [mm] U\cup [/mm] V:
Da solltest Du als Lehrer doch nicht in Verlegenhet sein.
Nimm zwei Geraden im [mm] \IR^2, [/mm] die durch den Nullpunkt gehen (warum durch den Nullpunkt?).
Was ist die Vereinigung? Warum ist das kein Vekorraum. (Prüfe die Unterraumkriterien).
Gruß v. Angela
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Vielleicht mache ich mir das zu einfach, aber vielleicht ist es ja auch gerade so gemeint: x=u1+v1 y=u2+v2 x+y = (u1+v1)+(u2+v2) = (v1+v2)+(u2+u2) letzteres ist offensichtlich aus u+v
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Hallo,
ja, wenn Du zuvor noch sagst, woher die [mm] u_i [/mm] und [mm] v_i [/mm] kommen, ist das richtig so.
Es muß ja nicht alles immer schwer sein.
Gruß v. Angela
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Da hätte ich auch die analoge Folgerung für den Durchschnitt:
Wenn v1 und v2 im Durchschnitt sind, müssen beide auch in den einzelnen Unterräumen sein undwegen der Uterraumeigenschaften von U1 und U2 dannebenauch die Summe. Wenn v1+v2 sowohl in U1 alsauch in U2 liegen,dann liegen si auchi mDurchschnitt w.z.b.w.
(Ich werde das nochmal ins reine denken, sollte aber stimmen.
Ist leichter als Analysis Trotzdem will ich jetzt erst noch die Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multipliktion versuchen.
Brauche ich da einen Tip?
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> Da hätte ich auch die analoge Folgerung für den
> Durchschnitt:
>
> Wenn v1 und v2 im Durchschnitt sind, müssen beide auch in
> den einzelnen Unterräumen sein undwegen der
> Uterraumeigenschaften von U1 und U2 dannebenauch die Summe.
> Wenn v1+v2 sowohl in U1 alsauch in U2 liegen,dann liegen
> si auchi mDurchschnitt w.z.b.w.
> (Ich werde das nochmal ins reine denken, sollte aber
> stimmen.
Hallo,
das ist völlig richtig.
>
> Ist leichter als Analysis
Ich empfinde das auch so.
Die Lineare Algebra ist "vorhersehbarer".
In der Analysis gibt es immer wieder überaschende Wendungen, wenn man an irgendeinem Schräubchen ein ganz kleines bißchen dreht.
Trotzdem will ich jetzt erst
> noch die Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren
> Multipliktion versuchen.
> Brauche ich da einen Tip?
Ganz bestimmt nicht.
Wichtig ist eine Begründung dafür, daß sowohl Summe als auch Durchschnitt nichtleer sind.
Gruß v. Angela
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>Wichtig ist eine Begründung dafür, daß sowohl Summe als auch Durchschnitt nichtleer sind.
hab ich gemacht: in jeder Menge und damit sowohl inSumme als auch im Durchschnitt ist ein neutrales element.
Bei der skalaren Multi würde ich so argumentieren:
Da [mm] \lambda [/mm] beliebig sein kann, könnte man zwei verschiedene [mm] \lambdas [/mm] aus den beiden Unterräumen wählen, bei der Summe wäre dann auch deren summe zu bilden bzw. "rückwärts" wieder aus der entstandenen Summe zu extrahieren. Das ist aber wohl nicht recht mathematisch ausgedrückt. Was den Durchschnitt betrifft ist das noch leichter zu sehen,aber noch schwerer zu formulieren.
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> >Wichtig ist eine Begründung dafür, daß sowohl Summe als
> auch Durchschnitt nichtleer sind.
> hab ich gemacht: in jeder Menge und damit sowohl inSumme
> als auch im Durchschnitt ist ein neutrales element.
Hallo,
genau, das neutrale Element ist bei diesen sehr allgemein gehaltenen Räumen der Schlüssel.
>
> Bei der skalaren Multi würde ich so argumentieren:
> Da [mm]\lambda[/mm] beliebig sein kann, könnte man zwei
> verschiedene [mm]\lambdas[/mm] aus den beiden Unterräumen wählen,
> bei der Summe wäre dann auch deren summe zu bilden bzw.
> "rückwärts" wieder aus der entstandenen Summe zu
> extrahieren. Das ist aber wohl nicht recht mathematisch
> ausgedrückt. Was den Durchschnitt betrifft ist das noch
> leichter zu sehen,aber noch schwerer zu formulieren.
Na! Wenn das bei der Addition ging, dürfte das ja hier auch kein Problem sein.
1. Summenraum:
Sei [mm] \lambda \in [/mm] K, [mm] x\in [/mm] U+V
==> es gibt ... (wie gehabt)
also ist [mm] \lambda*x= [/mm] ... (wieder wie gehabt.)
2. Schnitt
Sei [mm] \lambda \in [/mm] K, [mm] x\in U\cap [/mm] V.
Also ist [mm] x\in [/mm] U und [mm] x\in [/mm] V.
Nun rechne aus, wo [mm] \lambda [/mm] x drin ist.
Gruß v. Angela
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zunächst nochmal Dank für die Geduld. Weitere Bemerkungen würden sich jetzt nicht mehr auf das Thema direkt beziehen. Aber die Mitteilungen an den Autor sind "kaputt". Ich denke, da hat jemand was abgeschaltet?
Ich habe den Mut meine ICQ - Nummer im Forum zu verraten.
49551040. Ich hoffe, dass das nicht gegen die Regeln verstößt.
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> Aber die Mitteilungen an den Autor sind "kaputt". Ich
> denke, da hat jemand was abgeschaltet?
Hallo,
das ist routinemäßig: die Post von Newbies an andere User geht prinzipiell den Weg über den Webmaster.
Gruß v. Angela
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Als ich mit dem Forum anfing habe ich (denke ich jedenfalls) eine Mitteilung "an den Autor" - hier: angela - erfolgreich schreiben können, aber eben nur einmal. Bei Wiederholungversucnen ergab sich eine "Fehlermeldung". Wenn ich hingegen einem anderen "newby" schreiben will, bekomme ich den Hinweis, dass das nur über den Webmaster geht. Insofern ist da vielleicht wirklich was kaputt, so wie es ja auch explizit behauptetwird.
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