Beweisen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Zeigen Sie,dass für reelle Zahlen r,s,t,u [mm] \ge [/mm] 0 gilt:
1) [mm] \bruch{r}{s}+s \ge 2*\wurzel{r} [/mm] für s>0 |
Hallo^^
Ich habe versucht das zu beweisen,aber irgendwie dreh ich mich im Kreis.Ich hab folgende Umformungen gemacht:
[mm] \bruch{r}{s}+\bruch{s*s}{s} \ge 2*\wurzel{r}
[/mm]
[mm] \bruch{r+s^{2}}{s} \ge 2*\wurzel{r}
[/mm]
[mm] r+s^{2} \ge 2*\wurzel{r}*s
[/mm]
[mm] \bruch{r}{2*\wurzel{r}-s} \ge [/mm] s
Ich finde keine weitere sinnvolle Umformung mehr.Ich weiß ich auch nicht so genau,was überhaupt am Ende rauskommen muss. Die Ungleichung muss ja irgendwie abgeschätzt werden.
Ich hab es noch auf eine andere Weise probiert:
r [mm] \ge 2*\wurzel{r}*s-s^{2}
[/mm]
[mm] s^{2}+r \ge 2*\wurzel{r}*s
[/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
> Zeigen Sie,dass für reelle Zahlen r,s,t,u [mm]\ge[/mm] 0 gilt:
>
> 1) [mm]\bruch{r}{s}+s \ge 2*\wurzel{r}[/mm] für s>0
> Hallo^^
>
> Ich habe versucht das zu beweisen,aber irgendwie dreh ich
> mich im Kreis.Ich hab folgende Umformungen gemacht:
>
> [mm]\bruch{r}{s}+\bruch{s*s}{s} \ge 2*\wurzel{r}[/mm]
>
> [mm]\bruch{r+s^{2}}{s} \ge 2*\wurzel{r}[/mm]
>
> [mm]r+s^{2} \ge 2*\wurzel{r}*s[/mm]
>
> [mm]\bruch{r}{2*\wurzel{r}-s} \ge[/mm] s
>
> Ich finde keine weitere sinnvolle Umformung mehr.Ich weiß
> ich auch nicht so genau,was überhaupt am Ende rauskommen
> muss. Die Ungleichung muss ja irgendwie abgeschätzt
> werden.
>
> Ich hab es noch auf eine andere Weise probiert:
> r [mm]\ge 2*\wurzel{r}*s-s^{2}[/mm]
>
> [mm]s^{2}+r \ge 2*\wurzel{r}*s[/mm]
>
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Vielen Dank
> lg
Hallo Mandy,
ich hätte dir folgenden Tipp anzubieten:
Betrachte r als eine gegebene (nicht negative) konstante
Größe und s als eine freie Variable. Löse dann das Extre-
malproblem:
Welchen minimalen Wert nimmt der Ausdruck
$\ f(s)\ =\ [mm] \bruch{r}{s}+s$
[/mm]
an (für s>0) ?
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Do 30.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> ich hätte dir folgenden Tipp anzubieten:
>
Danke für den Tipp.
> Betrachte r als eine gegebene (nicht negative) konstante
> Größe und s als eine freie Variable. Löse dann das
> Extre-
> malproblem:
> Welchen minimalen Wert nimmt der Ausdruck
>
> [mm]\ f(s)\ =\ \bruch{r}{s}+s[/mm]
>
> an (für s>0) ?
Den minimalen Wert,den f(s) annimmt ist f(s=r)=1+r. Also muss ich die Ungleichung 1+r [mm] \ge 2*\wurzel{r} [/mm] abschätzen. Das ist das gleiche wie
1 [mm] \ge 2*\wurzel{r}-r.
[/mm]
Gleichhheit ist gegeben wenn [mm] 2*\wurzel{r}=r [/mm] und ansonsten muss [mm] 2*\wurzel{r}-r [/mm] immer <0 sein. Denn ich kann jede noch so große Zahl r nehmen, ich rechne immer -r,das ist auf jeden Fall kleiner als 1.
Bleibt noch das [mm] 2*\wurzel{r}.Was [/mm] mache ich denn jetzt damit?
Und mal ganz allgemein, wieso darf man das so machen, dass man eine Variable einfach als Konstante festlegt? Dann könnte ich nämlich genau so gut s als konstante festlegen, das habe ich mal gemacht, aber dafür gibt es keinen Extrempunkt.
|
|
|
| |
|
Hallo
> muss ich die Ungleichung 1+r [mm]\ge 2*\wurzel{r}[/mm] abschätzen.
> Das ist das gleiche wie
> 1 [mm]\ge 2*\wurzel{r}-r.[/mm]
>
> Gleichhheit ist gegeben wenn [mm]2*\wurzel{r}=r[/mm]
Das stimmt nicht.. dann steht ja da [mm]1 \ge 0[/mm], also keine Gleichheit.
> muss [mm]2*\wurzel{r}-r[/mm] immer <0 sein. Denn ich kann jede noch
> so große Zahl r nehmen, ich rechne immer -r,das ist auf
> jeden Fall kleiner als 1.
> Bleibt noch das [mm]2*\wurzel{r}.Was[/mm] mache ich denn jetzt
> damit?
Ich würde für diese Ungleichung ansetzen:
[mm]0 \ge 2\cdot\sqrt{r}-r-1[/mm] (*)
Jetzt kannste rechts ableiten und = 0 setzen. Das ist dann ein Maximum (es kommt raus [mm]r = 1[/mm]). Wenn du dann dies in (*) einsetzst, so siehste, dass du Gleichheit hast. Ansonsten ist die rechte Seite immer [mm]<[/mm] 0 (wegen Maximum) und somit die Ungleichung gezeigt.
Vielleicht hilft dir das?
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
> > ich hätte dir folgenden Tipp anzubieten:
> >
> Danke für den Tipp.
>
> > Betrachte r als eine gegebene (nicht negative) konstante
> > Größe und s als eine freie Variable. Löse dann das
> > Extremalproblem:
> > Welchen minimalen Wert nimmt der Ausdruck
> >
> > [mm]\ f(s)\ =\ \bruch{r}{s}+s[/mm]
> >
> > an (für s>0) ?
>
> Den minimalen Wert,den f(s) annimmt ist f(s=r)=1+r. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein, wie kommst du denn dazu ?
Um das Minimum von f(s) zu finden (beachte, dass f(s)
für alle positiven s definiert und stetig ist und positive
Werte hat - außerdem gilt [mm] $\limes_{s\downarrow 0}f(s)\ [/mm] =\ [mm] \limes_{s\to \infty}f(s)\ [/mm] =\ [mm] \infty\ [/mm] )$ , brauchen
wir eine Stelle s mit f'(s)=0 . Dies ist der Fall für [mm] s=\sqrt{r} [/mm] .
Der Rest ist dann ganz einfach ...
> Und mal ganz allgemein, wieso darf man das so machen, dass
> man eine Variable einfach als Konstante festlegt? Dann
> könnte ich nämlich genau so gut s als konstante
> festlegen, das habe ich mal gemacht, aber dafür gibt es
> keinen Extrempunkt.
Die Idee mit dem fixierten r ist mir hier gekommen, weil man
sich ja auch erst am Schluss klar machen kann, ob das Ganze
für jedes nicht-negative r funktioniert.
Es sollte wohl auch mit festgehaltenem (positivem) s gehen,
wobei man dann das Maximum der Funktion $\ g(r)\ =\ [mm] 2\,\sqrt{r}-\frac{r}{s}$
[/mm]
bestimmen und zeigen sollte, dass es kleiner oder gleich s ist
(zuerst die Ungleichung entsprechend notieren !).
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Do 30.12.2010 | | Autor: | Mousegg |
Hallo,
Vielleicht noch ein anderer Ansatz von dem ich hoffe dass er ohne Fehler ist:
[mm] \bruch{r}{s} [/mm] +s [mm] \ge 2*\wurzel{r}
[/mm]
s [mm] \ge 2*\wurzel{s}-\bruch{r}{s}
[/mm]
[mm] \bruch{s^2}{r}- \bruch{2s*\wurzel{r}}{r} \ge [/mm] -1
[mm] \bruch{s^2}{r}-\bruch{2*s*\wurzel{r}}{r
} \ge [/mm] -1
und was kommt raus wenn man den linken Therm zu einem Binom ergänzt?
Danke für den Hinweis hoffentlich sind jetzt alle Vertipper ausgeräumt ! es musste natürlich s satt2 heißen
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> Vielleicht noch ein anderer Ansatz von dem ich hoffe dass
> er ohne Fehler ist:
>
> [mm]\bruch{r}{s}[/mm] +2 [mm]\ge 2*\wurzel{r}[/mm]
> s [mm]\ge 2*\wurzel{s}-\bruch{r}{s}[/mm]
>
> [mm]\bruch{s^2}{r}- \bruch{2s*\wurzel{r}}{r} \ge[/mm] -1
>
> [mm]\bruch{s^2}{r}-\bruch{2*s*\wurzel{r}}{r
} \ge[/mm] -1
>
> und was kommt raus wenn man den linken Therm zu einem Binom
> ergänzt?
Ob das stimmt, was du oben "hoffst", könntest du eigentlich
selber überprüfen.
Ich finde jedenfalls schon in deinen ersten beiden Zeilen
Fehler bzw. Verschreiber ...
Korrigiere die doch bitte zuerst einmal !
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Do 30.12.2010 | | Autor: | SEcki |
> 1) [mm]\bruch{r}{s}+s \ge 2*\wurzel{r}[/mm] für s>0
[mm](\sqrt{r}-s)^2\ge 0[/mm].
Und dann - happy calculating!
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Do 30.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > 1) [mm]\bruch{r}{s}+s \ge 2*\wurzel{r}[/mm] für s>0
>
> [mm](\sqrt{r}-s)^2\ge 0[/mm].
>
> Und dann - happy calculating!
Bin grad etwas geschockt,dass das auch so einfach geht.
Vielen Dank.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 So 02.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | b) Zeigen Sie, dass für reellle Zahlen r,s,t,u [mm] \ge [/mm] 0 gilt:
[mm] \wurzel{rt}+\wurzel{su} \le \wurzel{(r+s)*(t+u)} [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht das zu beweisen,aber ich komme nicht mehr weiter.
[mm] \wurzel{rt}+\wurzel{su} \le \wurzel{r+s}*\wurzel{t+u}
[/mm]
[mm] \wurzel{r}*\wurzel{t}+\wurzel{s}*\wurzel{u} \le \wurzel{r+s}*\wurzel{t+u}
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{r*t}{r+s}}+\wurzel{\bruch{su}{r+s}} \le \wurzel{t+u}
[/mm]
Bei diesem Ansatz krieg ich aber keine sinnvolle Umformung mehr.
Also hab ich es anders versucht:
[mm] \wurzel{rt}+\wurzel{su} \le \wurzel{rt+ru+st+su}
[/mm]
[mm] \wurzel{rt}+\wurzel{su} \le \wurzel{r*(t+u)+s*(t+u)}.
[/mm]
Das ungünstige ist,dass ich die ein + unter Wurzel nicht weiter umformen kann.
Hat jemand einen Tipp für mich,wie ich weitermachen kann?
Vielen Dank
lg
|
|
|
| |
|
> b) Zeigen Sie, dass für reelle Zahlen r,s,t,u [mm]\ge[/mm] 0
> gilt:
>
> [mm]\wurzel{rt}+\wurzel{su} \le \wurzel{(r+s)*(t+u)}[/mm]
Hallo Mandy,
für eine neue Aufgabe solltest du eigentlich einen neuen
Thread eröffnen. Allerdings ist diese Aufgabe recht ähnlich
zur ersten, die du gestellt hast.
Ich würde dir empfehlen, zuerst beide Seiten ins Quadrat
zu erheben (dabei solltest du dir klar machen, ob die Umkehrung
des Schlusses auch möglich ist).
Dann kannst du Abkürzungen einführen:
$\ a:=r*u$ $\ b:=s*t$
und hast eine deutlich einfachere Ungleichung.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke für deinen Tipp.
> Ich würde dir empfehlen, zuerst beide Seiten ins Quadrat
> zu erheben (dabei solltest du dir klar machen, ob die
> Umkehrung
> des Schlusses auch möglich ist).
Also wenn ich aus [mm] (...)^{2} [/mm] die Wurzel ziehe, dann ist die Umkehrung möglich, es gibt aber zwei Lösungen, einmal -... und einmal +..., wobei ich sagen würde, dass wir hier die negative Lösung einfach weglassen,die brauchen wir nicht. Dewegen ist die Umkehrung des Schlusses doch möglich oder?
> Dann kannst du Abkürzungen einführen:
>
> [mm]\ a:=r*u[/mm] [mm]\ b:=s*t[/mm]
>
> und hast eine deutlich einfachere Ungleichung.
Ja, die brauche ich aber gar nicht.Wenn ich die Ungleichung quadriert habe, gehts auch mit den r,s,t,u, ist nicht mehr so schwer.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
> Hallo Al-Chwarizmi,
> danke für deinen Tipp.
>
> > Ich würde dir empfehlen, zuerst beide Seiten ins Quadrat
> > zu erheben (dabei solltest du dir klar machen, ob die
> > Umkehrung
> > des Schlusses auch möglich ist).
>
> Also wenn ich aus [mm](...)^{2}[/mm] die Wurzel ziehe, dann ist die
> Umkehrung möglich, es gibt aber zwei Lösungen, einmal
> -... und einmal +..., wobei ich sagen würde, dass wir hier
> die negative Lösung einfach weglassen,die brauchen wir
> nicht.
also vorweg: Die Umkehrung des Schlusses ist möglich. Aber es gibt hier keine zwei Lösungen - auch keine zwei (oder mehr) Ungleichungen, wovon man einfach "nach Lust und Laune" welche wegläßt. Auch das "Weglassen" ist eigentlich nicht falsch von Dir ausgedrückt, aber man muss sich überlegen, "warum" man manches einfach weglassen "darf". D.h.:
Du musst einfach beachten, was denn die Generalvoraussetzungen sind und was dann gilt.
Ich erkläre es mal anhand eines anderen Beispiels:
Wenn ich nur die "Generalvoraussetzung" $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] habe, dann gilt in der Tat:
Aus [mm] $x=y\,$ [/mm] folgt stets [mm] $x^2=y^2\,,$ [/mm] aber aus [mm] $x^2=y^2 \gdw [/mm] (x+y)(x-y)=0$ folgt "nur" [mm] $x=y\,$ [/mm] oder [mm] $x=-y\,.$
[/mm]
Man kann also $x=y [mm] \Rightarrow x^2=y^2\,,$ [/mm] schreiben, nicht aber [mm] $x^2=y^2 \Rightarrow x=y\,.$ [/mm] Also $x=y [mm] \gdw x^2=y^2$ [/mm] ist hier schlichtweg falsch.
Würde ich aber als "Generalvoraussetzung" $x,y [mm] \ge [/mm] 0$ haben, so gilt $x=y [mm] \gdw x^2=y^2\,.$ [/mm] Der Schluss $x=y [mm] \Rightarrow x^2=y^2$ [/mm] ist klar, aber auch hier muss man sich (den nichttrivialen Fall) überlegen, dass und warum [mm] $x^2=y^2 \Rightarrow [/mm] x=y$ gilt:
Wir wissen, dass [mm] $x^2=y^2 \gdw [/mm] (x+y)(x-y)=0 [mm] \gdw$ $x=y\,$ [/mm] oder [mm] $x=-y\,.$ [/mm] Wegen $x,y [mm] \ge [/mm] 0$ kann hier aber [mm] $x=-y\,$ [/mm] nur für [mm] $x=y=0\,$ [/mm] gelten, was dann also insbesondere auch [mm] $x=y\,$ [/mm] beinhaltet. Also liefert hier wegen der Voraussetzung $x,y [mm] \ge [/mm] 0$ in der Tat die Gleichung [mm] $x^2=y^2$ [/mm] sofort [mm] $x=y\,.$
[/mm]
Ähnliches findet bei obiger Betrachtung statt:
Man kann in der Tat für reelle [mm] $v,w\,$ [/mm] sagen, dass
[mm] $$\sqrt{v} \le \sqrt{w}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] v [mm] \le w\,.$$
[/mm]
Denn damit man [mm] $\sqrt{v}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{w}$ [/mm] überhaupt "hinschreiben kann", müssen $v,w [mm] \ge [/mm] 0$ sein. (Das ist hier eine "Generalvoraussetzung", die man oft verschweigt, eigentlich aber zu erwähnen hätte!)
Da $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] (streng) monoton wächst und [mm] $\sqrt{v}, \sqrt{w} \ge [/mm] 0$ sind, liefert [mm] $\sqrt{v} \le \sqrt{w}$ [/mm] damit [mm] $v=\sqrt{v}^2 \le w=\sqrt{w}^2\,.$ [/mm] Umgekehrt ist $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] (streng) monoton wachsend (eigentlich würde alleine diese Tatsache hier schon reichen), so dass wir aus $(0 [mm] \le )\;\;v \le [/mm] w$ auch [mm] $\sqrt{v} \le \sqrt{w}$ [/mm] erhalten.
"Unglücklich" wird das ganze, wenn man (WARNUNG: Folgende Äquivalenz ist i.a. FALSCH!) [mm] $\sqrt{v^2} \le \sqrt{w^2} \gdw [/mm] v [mm] \le [/mm] w$ schreiben wollte. Denn bei [mm] $\sqrt{a^2}$ [/mm] kann man nicht ohne weiteres Angaben dazu machen, welches Vorzeichen [mm] $a\,$ [/mm] hat; man wüßte nur [mm] $\sqrt{a^2}=|a|\,.$ [/mm]
Beachte also:
Es gilt im allgemeinen (d.h. für $x,y [mm] \in \IR$) [/mm] z.B.
[mm] $$x^2 \le y^2 \gdw [/mm] |x| [mm] \le |y|\,,$$
[/mm]
aber wenn Du nun "mehr" (anhand einer Generalvoraussetzung) über [mm] $x,y\,$ [/mm] weißt, dann kannst Du evtl. das ganze auch weiter gleichwertig umschreiben. Z.B. wenn wir oben wüßten, dass $x,y [mm] \le [/mm] 0$:
[mm] $$x^2 \le y^2 \gdw [/mm] |x| [mm] \le [/mm] |y| [mm] \gdw [/mm] -x [mm] \le [/mm] -y [mm] \gdw [/mm] y [mm] \le [/mm] x [mm] \;\;(\le 0)\,.$$
[/mm]
P.S.:
Also, was Al meinte:
Du darfst bei
$$ [mm] \wurzel{rt}+\wurzel{su} \le \wurzel{(r+s)\cdot{}(t+u)} [/mm] $$
einfach quadrieren, weil auf beiden Seiten der Ungleichung Zahlen [mm] $\ge [/mm] 0$ stehen (es gilt nämlich $ [mm] \wurzel{rt}+\wurzel{su} \ge [/mm] 0$ und $ [mm] \wurzel{(r+s)\cdot{}(t+u)} \ge [/mm] 0$); und das [mm] $\le$ [/mm] bleibt dann erhalten, weil $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] (streng) wachsend ist. Mit Überlegungen analog zu oben siehst Du dann, dass die so erhaltende Ungleichung, die erstmal nur "notwendige Bedingungen" für die Ausgangsungleichung liefert, auch hinreichende liefert - man also eine zur Ausgangsungleichung gleichwertige Ungleichung erhält.
(I.a. wäre übrigens $x [mm] \le [/mm] y [mm] \Rightarrow x^2 \le y^2$ [/mm] falsch, wie etwa $-3 < [mm] 2\,,$ [/mm] aber [mm] $9=(-3)^2 [/mm] > [mm] 4=2^2$ [/mm] zeigt.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
