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| Aufgabe | Beweisen Sie die Identität
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}=e [/mm] |
Hallo,
in der Vorlesung haben wir bereits erfahren, dass für e folgendes gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n.
[/mm]
Ich weiß nun das ich die Summe nach oben und nach unten abschätzen muss, um e einzuschränken.
Da e eine Zahl zwischen 2 und 3 ist, wäre dann der untere Teil 2 und der obere Teil 3.
Aber wie zeige ich nun die Identität?
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Hallo,
> Beweisen Sie die Identität
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}=e[/mm]
> Hallo,
>
> in der Vorlesung haben wir bereits erfahren, dass für e
> folgendes gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n.[/mm]
> Ich weiß nun das ich die Summe nach oben und nach unten
> abschätzen muss, um e einzuschränken.
> Da e eine Zahl zwischen 2 und 3 ist, wäre dann der untere
> Teil 2 und der obere Teil 3.
> Aber wie zeige ich nun die Identität?
Dazu solltest du ersteinmal nicht bis Unendlich denken, sondern mis zu einer beliebigen Zahl n. Schreibe einmal die Summe
[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k!} [/mm]
ohne Summenzeichen aus und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner. Dann lässt sich relativ einfach die Identität
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k!} = \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n} \right)^n[/mm]
zeigen.
Gruß, Diophant
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Ich habe nun für die ersten vier Glieder folgende Summen für 1/k! berechnet:
1+1/2+1/6+1/24+...
Diese vier ergeben zusammen 41/24.
Aber was hat das nun mit dem Rest zu tun?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Mi 05.12.2012 | | Autor: | missjanine |
also die einzelnen partialsummen sind ja:
1+3/2+5/3+41/24+...
die kann ich alle auf einen Nenner bringen:
24/24+36/24+40/24+41/24+....
Aber irgendwie komm ich nicht weiter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo missjanine,
> Ich habe nun für die ersten vier Glieder folgende Summen
> für 1/k! berechnet:
> 1+1/2+1/6+1/24+...
> Diese vier ergeben zusammen 41/24.
> Aber was hat das nun mit dem Rest zu tun?
da ich über Diophants Ansatz nicht nachgedacht habe, weiß ich das so
direkt auch nicht.
Hast Du denn in den Link von mir mal reingeguckt? Man kann die Aufgabe
dann damit sofort jedenfalls schonmal lösen: Rechne alles speziell für
[mm] $z=1\,$ [/mm] dort durch. (Der Beweis ist ja viel allgemeiner dort gehalten: Dort
wird gezeigt, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} (1+z/n)^n=\sum_{k=0}^\infty z^k/k!$ [/mm] gilt. Spiel' diesen Beweis mal so durch, und vielleicht
wird da ja eh der "Kniff", auf den Diophant hinweisen wollte, angewendet.
Aber selbst wenn nicht: Wenigstens hättest Du dann einen Beweis für
Deine Aufgabe schonmal fertiggestellt - und einen alternativen könntest
Du dann zusammenbasteln, wenn Du rausgefunden hast, was Diophant
meinte oder wenn er nochmal drauf hinweist, wie's bei ihm weitergehen
soll.)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ich hatte das im Kopf, habe es aber ziemlich blödsinnig formuliert, bzw. 'das Pferd beim Schwanz aufgezäumt'. Hier mal mein eigentlicher Tipp:
Zeige mit Hilfe der allg. binomischen Formel
[mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=1+\summe_{k=1}^{n}\bruch{\left(1-\bruch{1}{n}\right)\left(1-\bruch{2}{n}\right)*\ldots*\left(1-\bruch{k-1}{n}\right)}{k!} [/mm]
und dann ist deine Identität für den Grenzübergang für [mm] n->\infty [/mm] klar. Sorry, manchmal meint man, so etwas klar wie Kloßbrühe vor Augen zu haben und macht sich dann zu wenig Gedanken über die Richtigkeit.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie die Identität
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}=e[/mm]
eine Möglichkeit: schau' Dir den Beweis von ![[]](/images/popup.gif) Satz 7.4 an,
und spiele ihn speziell für [mm] $z=1\,$ [/mm] durch!
Gruß,
Marcel
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