Beweisen einer Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mi 11.10.2006 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Beweisen Sie dass für alle n element N gilt:
n! <= (kleiner oder gleich) [mm] 2*(n/2)^n [/mm] |
Hallo,
Ich bin Erstsemesterstudent (Technomathematik) und bin jetzt mit den ersten Aufgaben konfrontiert wurden. Es geht um Beweise durch Induktion. Aufgaben wie Summe aus [mm] k^2 [/mm] von k=1 bis n = (1/6)n(n+1)(2n+1) sind jetzt kein Problem mehr aber mit Ungleichungen habe ich noch meine Probleme. Die Aufgabe wurde ja bereits genannt und ich finde dass mein Ansatz irgendwie gar nicht stimmen kann. Induktionsanfang ist kein Problem, da kommt 1=1 raus.
Im Indutionsschritt habe ich alle n durch n+1 ersetzt und komme auf
(n+1)! <= [mm] 2(n/2)^n*(n+1).
[/mm]
Außerdem habe ich dann noch die Gleichung (n+1)!<=2((n+1)/2)^(n+1) aufgestellt und habe geschlussfolgert dass
2((n+1)/2)^(n+1) >= [mm] 2(n/2)^n*(n+1) [/mm] sein muss. Ist das soweit richtig oder völliger Blödsinn.
Ich habe dann vereinfacht bis ich auf
n>=1/(die n-te Wurzel aus(2) - 1 )
Wenn meine zwischenschritte richtig waren, kann ich das dann auch als Ergebnis stehen lassen und als bewiesen abhaken?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für jede Hilfe die ich bekomme.
Mit freundl. Grüßen.
Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Do 12.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo max und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dann versuche ich es mal
Zu zeigen ist:
[mm] n!\le2(\bruch{n}{2})^{n}
[/mm]
Den Induktionsanfang und die Induktionsannahme erspare ich mir mal.
Zu zeigen ist:
[mm] (n+1)!\le2(\bruch{n+1}{2})^{n+1}
[/mm]
Also:
(n+1)!
=n!(n+1)
[mm] \le2(\bruch{n}{2})^{n}*(n+1) [/mm] (nach Ind.-Annahme)
[mm] =(2n+2)(\bruch{n}{2})^{n}
[/mm]
[mm] =2n(\bruch{n^{n}}{2^{n}})+2(\bruch{n^{n}}{2^{n}})
[/mm]
[mm] =\bruch{2n*n^{n}}{2^{n}}+\bruch{2*n^{n}}{2^{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^{n+1}}{2^{n+1}}+\bruch{n^{n}}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] \le\bruch{n^{n+1}+n^{n\red{+1}}}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n^{n+1}}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] =2*\bruch{n^{n+1}}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] =2(\bruch{n}{2})^{n+1}
[/mm]
[mm] \le2(\bruch{n\red{+1}}{2})^{n+1}
[/mm]
An den rot Markierten Stellen habe ich den Zähler passend vergrössert, also wird der ganze Term grösser.
Wenn das noch unklar ist, frag bitte nach, ich gebe es zu, dass das nicht unbedingt offensichtlich ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Fr 13.10.2006 | | Autor: | max3000 |
Etwas ist mir unklar. Wie du von
[mm] \bruch{2n*n^{n}}{2^{n}} [/mm] + [mm] \bruch{2n^{n}}{2^{n}}
[/mm]
auf den Term
[mm] \bruch{n^{n+1}}{2^{n+1}} [/mm] + [mm] \bruch{n^{n}}{2^{n+1}}
[/mm]
kommst.
Eigentlich musst du ja beide Brüche mit 2 erweitern um im Nenner auf [mm] 2^{n+1} [/mm] zu kommen. Da ergibt sich dann im Zähler aber ein [mm] 4*n^{n+1}
[/mm]
Ich schäme mich jetzt schon wenn ich mich irren sollte.
Grüße
Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Fr 13.10.2006 | | Autor: | Sashman |
tach maxe!
Schrei dir das doch mal anders:
[mm] \frac{2*n^{n+1}}{2^n}=2n^{n+1}*2^{-n}=n^{n+1}*2^{-n+1}=\frac{n^{n+1}}{2^{-(-n+1)}}=\frac{n^{n+1}}{2^{n+1}}
[/mm]
Alles klar? ;)
MfG Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:10 Sa 14.10.2006 | | Autor: | max3000 |
Ja, jetzt seh ichs ein.
Vielen Dank für die Hilfe.
Grüße Max.
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