Bijektive Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M := {a,b,c}. Die Abbildung [mm] \phi [/mm] sei durch
[mm] \phi [/mm] : [mm] Abb(M,\IR) \to \IR^{3} [/mm]
f [mm] \mapsto [/mm] (f(a), f(b), f(c))
definiert.
Zeigen sie, dass [mm] \phi [/mm] bijektiv ist. |
Also, ich hab bereits vorher gezeigt, dass die Abbildung linear ist... Aber wie zeigt man jetzt, dass sie auch bijektiv ist???
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> Sei M := {a,b,c}. Die Abbildung [mm]\phi[/mm] sei durch
> [mm]\phi[/mm] : [mm]Abb(M,\IR) \to \IR^{3}[/mm]
> f [mm]\mapsto[/mm] (f(a), f(b), f(c))
> definiert.
>
> Zeigen sie, dass [mm]\phi[/mm] bijektiv ist.
> Also, ich hab bereits vorher gezeigt, dass die Abbildung
> linear ist... Aber wie zeigt man jetzt, dass sie auch
> bijektiv ist???
Hallo,
bijektiv heißt injektiv und surjektiv, also mußt Du das zeigen.
injektiv kannst Du, da Du es mit einem Homomorphismus zu tun hast, über den Kern der Abbildung [mm] \phi [/mm] zeigen,
falls Du der Meinung bist, daß [mm] Abb(M,\IR) [/mm] und [mm] \IR^{3} [/mm] beides endlichdimensionale VR der Dimension 3 sind, bist Du dann bereits fertig, denn ???
Ansonsten mußt Du noch zeigen, daß es zu jedem Tripel [mm] (r,s,t)\in \IR^3 [/mm] ein [mm] h\in Abb(M,\IR) [/mm] gibt mit [mm] \phi(h)=(r,s,t).
[/mm]
Gruß v. Angela
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Also ich bin prinzipiell schon der Meinung, dass [mm] Abb(M,\IR) [/mm] und [mm] \IR [/mm] endlichdimensionale Vektorräume sind ... Aber mir ist nich ganz klar warum ich dann aufgrund ??? bereits fertig bin. Könntest du das vielleicht noch mal näher erläutern??
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> Also ich bin prinzipiell schon der Meinung, dass [mm]Abb(M,\IR)[/mm]
> und [mm]\IR[/mm] endlichdimensionale Vektorräume sind ... Aber mir
> ist nich ganz klar warum ich dann aufgrund ??? bereits
> fertig bin. Könntest du das vielleicht noch mal näher
> erläutern??
Hallo,
das ist ein Satz, der in Deiner Vorlesung drangewesen sein müßte:
wenn f eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen VRen derselben Dimension ist ist, so gilt
injektiv <==> surjektiv <==> bijektiv.
Der Beweis ist nicht sonderlich schwierig, lohnt sich vielleicht mal anzuschauen.
Daß [mm] Abb(M,\IR) [/mm] hier dreidimensional ist, müßte natürlich noch bewiesen werden, z.B. durch Angabe einer Basis.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Sei M := { a,b,c }. Die Abbildung [mm] \phi [/mm] sei durch
[mm] \phi [/mm] : [mm] Abb(M,\IR) \to \IR^{3}
[/mm]
f [mm] \mapsto [/mm] (fa),f(b),f(c))
definiert.
[mm] \phi [/mm] ist linear.
Zeigen sie das [mm] \phi [/mm] bijektiv ist. |
Also ich weiss das ich zeigen muss das sie injektiv und surjektiv ist. In einem anderen Beitrag wurde albtalrobin gesagt er soll es mit dem Kern der Abbildng versuchen ... damit kann ich irgendwie garnix anfangen ... Hat jemand ne bessere Idee??
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> Sei M := { a,b,c }. Die Abbildung [mm]\phi[/mm] sei durch
>
> [mm]\phi[/mm] : [mm]Abb(M,\IR) \to \IR^{3}[/mm]
> f [mm]\mapsto[/mm] (fa),f(b),f(c))
>
> definiert.
> [mm]\phi[/mm] ist linear.
> Zeigen sie das [mm]\phi[/mm] bijektiv ist.
> Also ich weiss das ich zeigen muss das sie injektiv und
> surjektiv ist. In einem anderen Beitrag wurde albtalrobin
> gesagt er soll es mit dem Kern der Abbildng versuchen ...
> damit kann ich irgendwie garnix anfangen ... Hat jemand ne
> bessere Idee??
Hallo,
warum kannst Du damit nichts anfangen?
Wenn Du nicht weißt, was der Kern ist oder wenn Du nicht weißt, was Kern und Injektivität miteinander zu tun haben, mußt Du diesen Zustand unbedingt ändern, falls Du lineare Algebra treiben willst oder mußt.
Der Kern ist all das, was auf die Null abgebildet wird, und wenn der Kern nur aus der Null besteht, so ist die Abbildung injektiv.
Um das anzuwenden, mußt Du also schauen, für welche f gilt
[mm] \Phi [/mm] (f)=(0,0,0).
Falls Du gezeigt hast, daß Abb(M, [mm] \IR) [/mm] endlichdimensional ist, kannst Du natürlich auch den Weg über die Surjektivtät wählen.
Gruß v. Angela
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