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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Do 02.12.2010 | | Autor: | Zirbe |
| Aufgabe | Gegeben seien die Abbildungen
f: [mm] \IR^{+} \times \IR^{+} \to \IR \times \IR^{+}, [/mm] f(x,y) = (x-y, xy) und
g: [mm] \IR \times \IR^{+} \to \IR^{+} \times \IR^{+}, [/mm] g(u,v) =
[mm] (\bruch{u}{2}+\wurzel{v+\bruch{u^{2}}{4}}, -\bruch{u}{2}+\wurzel{v+\bruch{u^{2}}{4}}).
[/mm]
Man zeige, dass f bijektiv mit [mm] f^{-1} [/mm] = g ist. |
Ich schreibe euch mal meinen bisherigen Rechenweg hin und komme aber am Schluss nicht mehr weiter:
Wegen (g [mm] \circ [/mm] f)(x,y) = g(f(x,y)) = g(x-y,xy) =
= [mm] (\bruch{x-y}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{xy + \bruch{(x-y)^{2}}{4}}, -\bruch{x-y}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{xy + \bruch{(x-y)^{2}}{4}}) [/mm] =
= [mm] (\bruch{(x-y)^{2}}{4} [/mm] + xy + [mm] \bruch{(x-y)^{2}}{4}, -\bruch{(x-y)}{4}^{2} [/mm] + xy + [mm] \bruch{(x-y)^{2}}{4})
[/mm]
So, und es müsste ja jetzt bei der ersten Gleichung x und bei der 2. Gleichung y rauskommen, um die Injektivität von f und die Surjektivität von g nachzuweisen. Aber das kommt ned raus. Hab ich irgendwo nen Fehler eingebaut oder nen Denkfehler?
Vielen Dank schon mal für eure Antwort!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 02.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Gegeben seien die Abbildungen
> f: [mm]\IR^{+} \times \IR^{+} \to \IR \times \IR^{+},[/mm] f(x,y) =
> (x-y, xy) und
> g: [mm]\IR \times \IR^{+} \to \IR^{+} \times \IR^{+},[/mm] g(u,v)
> [mm] =(\bruch{u}{2}+\wurzel{v+\bruch{u^{2}}{4}}, -\bruch{u}{2}+\wurzel{v+\bruch{u^{2}}{4}})
[/mm]
>
> Man zeige, dass f bijektiv mit [mm]f^{-1}[/mm] = g ist.
> Ich schreibe euch mal meinen bisherigen Rechenweg hin und
> komme aber am Schluss nicht mehr weiter:
>
> Wegen (g [mm]\circ[/mm] f)(x,y) = g(f(x,y)) = g(x-y,xy) =
>
> [mm] =(\bruch{x-y}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{xy + \bruch{(x-y)^{2}}{4}}, -\bruch{x-y}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{xy + \bruch{(x-y)^{2}}{4}}) [/mm] =
>
In der Wurzrl ausmultiplizieren und die Binomische Formel anwenden.
[mm] =(\br{x-y}{2}+\br{x+y}{2},-\br{x-y}{2}+\br{x+y}{2})=(x,y)
[/mm]
> [mm] =(\bruch{(x-y)^{2}}{4} [/mm] + xy + [mm] \bruch{(x-y)^{2}}{4}, -\bruch{(x-y)}{4}^{2} [/mm] + xy + [mm] \bruch{(x-y)^{2}}{4})
[/mm]
Versteh ich nicht.
> So, und es müsste ja jetzt bei der ersten Gleichung x und
> bei der 2. Gleichung y rauskommen
Um die Bijektivität zu zeigen reicht das obige nicht.
> um die Injektivität von
> f und die Surjektivität von g nachzuweisen. Aber das kommt
> ned raus. Hab ich irgendwo nen Fehler eingebaut oder nen
> Denkfehler?
> Vielen Dank schon mal für eure Antwort!
> LG
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