Bijektivität der E-Fkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Di 19.07.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Zu zeigen:
Die Funktion
[mm] $exp:\IR\to\IR^{+}$ $x\to e^x$ [/mm]
ist bijektiv und besitzt damit eine Umkehrfunktion. |
Hallo zusammen.
Meine Idee:
Ich zeige:
Die Funktion ist
(a) injektiv
(b) surjektiv
Aus (a) und (b) folgt dann bijektiv.
(a) folgt ja direkt aus der strengen Monotonie der Exponentialfunktion
(b)
So, nun versuche ich die Surjektivität mit Hilfe der Zwischenwertsatzes:
Da der Konvergenzradius von [mm] $exp(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}$ [/mm] unendlich ist, und jede reelle Potenzreihe im Inneren ihres Konverenzradius eine stetige Funktion darstellt, folgt daraus die Stetigkeit von [mm] $\(exp(x)$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$.
[/mm]
Die Exponentialfunktion ist stetig auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] und somit insbesondere auf jedem Teilintervall [mm] $[a,b]\subseteq\IR$.
[/mm]
Es gilt:
[mm] $\limes_{x\rightarrow -\infty}e^x=0$ [/mm]
und
[mm] $\limes_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ [/mm] (da unbeschränkt)
Es folgt aus dem ZWS:
Zu jedem [mm] $y\in\{0,+\infty\}=\IR^+$ [/mm]
ex. ein [mm] $x\in[-\infty,+\infty]=\IR$ [/mm]
mit [mm] $\(exp(x)=y$.
[/mm]
Somit ist die Exponentialfunktion surjektiv.
Ist das so korrekt, bzw kann man das so sagen?
Vielen Dank schon mal!
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Sache mit der Injektivität ist O.K.
Bei der Surjektivität solltest Du etwas ausfühlicher argumentieren:
Sei [mm] $y_0 \in [/mm] (0, [mm] \infty)$. [/mm] Wegen $ [mm] \limes_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty [/mm] $ gibt es ein b [mm] \in \IR [/mm] mit:
[mm] y_0
Wegen $ [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}e^x=0 [/mm] $, gibt es ein a [mm] \in \IR [/mm] mit:
[mm] e^a
Also ist [mm] e^a
[mm] y_0=e^{x_0}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Di 19.07.2011 | | Autor: | nhard |
aah vielen Dank. So siehts gleich viel besser aus.
Ist das eigentlich korrekt wenn ich sage:
[mm] $(-\infty,+\infty)=\IR$ [/mm] oder drehts euch Mathematikern dann denn Magen um?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo nhard,
> aah vielen Dank. So siehts gleich viel besser aus.
>
> Ist das eigentlich korrekt wenn ich sage:
>
> [mm](-\infty,+\infty)=\IR[/mm] oder drehts euch Mathematikern dann
> denn Magen um?
Bei mir dreht sich nix ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
Ist ok, das als Intervall zu schreiben, aber wozu?
[mm]\IR[/mm] ist doch "prägnanter" (und kürzer) ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Di 19.07.2011 | | Autor: | nhard |
Stimmt schon ;)
Aber manchmal habe ich das Problem, dass ich zb was für ganz [mm] $\IR$ [/mm] zeigen soll, ich aber nur auf das Intervall [mm] $(-\infty,+\infty)$ [/mm] komme. Deshalb wollt ich nur nochmal sicher gehen ;)
Danke für deine Antwort
Lg
|
|
|
|
