Bijektivität zeigen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien f: A [mm] \to [/mm] B, g: B [mm] \to [/mm] C und h: C [mm] \to [/mm] A Abbildungen. Zeige: Wenn die Abbildungen h [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] f und g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] h beide surjektiv sind und die Abbildung f [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] g injektiv ist, dann sind die drei Abbildungen f,g und h sämtlich bijektiv.
TIPP: Zeige zuerst, daß g injektiv und surjektiv ist. |
Ist wahrscheinlich super einfach, aber ich find da überhaupt keinen Ansatz. Wäre für jede Hilfe dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien f: A [mm]\to[/mm] B, g: B [mm]\to[/mm] C und h: C [mm]\to[/mm] A Abbildungen.
> Zeige: Wenn die Abbildungen h [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] f und g [mm]\circ[/mm] f
> [mm]\circ[/mm] h beide surjektiv sind und die Abbildung f [mm]\circ[/mm] h
> [mm]\circ[/mm] g injektiv ist, dann sind die drei Abbildungen f,g
> und h sämtlich bijektiv.
> TIPP: Zeige zuerst, daß g injektiv und surjektiv ist.
> Ist wahrscheinlich super einfach, aber ich find da
> überhaupt keinen Ansatz. Wäre für jede Hilfe dankbar
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hi Improvise,
h $ [mm] \circ [/mm] $ g $ [mm] \circ [/mm] $ f ist eine Funktion von A in sich selbst und g $ [mm] \circ [/mm] $ f $ [mm] \circ [/mm] $ h von C in sich selbst. Beide sind surjektiv lt. Aufgabenstellung, damit sind sie auch injektiv, da die Definitionsmenge und die Bildmenge gleich groß sind.
Daraus, dass die beiden Verknüpfungen bijektiv sind, kannst Du folgern, dass A und C gleich groß sind (das musst Du aber noch selbst beweisen, was aber einfach geht, da die Abbildung C nach C über A geht und die von A nach A über C geht).
Wenn Du das geschafft hast, kannst Du weiter beweisen, dass h bijektiv ist (weil ja bei einer bijektiven Abbildung die Definitionsmenge und die Bildmenge gleich groß ist und generell die Bildmenge einer Funktion immer höchstens genauso groß ist wie die Definitionsmenge). Also weil Du weisst, dass h schon injektiv ist und A und C gleich groß sind...
Warum in der Aufgabe als Tipp die Funktion g genannt ist, weiss ich nicht, ich glaube mit h dürfte der Anfang leichter sein.
Weiter folgt dann auch, dass f und g injektiv sind (wieder Größenvergleich von Bild- und Definitionsmenge) für h $ [mm] \circ [/mm] $ g $ [mm] \circ [/mm] $ f bzw g $ [mm] \circ [/mm] $ f $ [mm] \circ [/mm] $ h. Für diesen Schritt brauchst Du nicht mal zu wissen, dass h injektiv ist (vielleicht war das gemeint im Tipp).
Hoffe das hilft mal fürs Erste.
Gruß
Jürgen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Improvise |
habs hinbekommen, danke für die hilfe
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