Bild - Test: Enthalten Menge? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Mi 28.04.2010 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Wir haben X=[-1,1]x[-1,1], ein Quadrat in der Ebene mit eukl. Metrik, ebenso wie Y=[-1/2,1/2]x[-1/2,1/2] und T(x,y)=1/2 x+y.
Nun soll man überprüfen, ob das Bild von T in X enthalten ist und das T:XxY->X stetig ist.
Außerdem soll ich den Fixpunkt hier berechnen. |
Hallo,
ich denke, man muss einfach irgendein Element der Menge wählen, die Grenzen -1, 1 und -1/2 und 1/2 einsetzen und dann sieht man ja, dass wenn man das in 1/2 x+y einsetzt ,es in der Menge liegt - aber wie schreibe ich das auf?
Zum zweiten dachte ich so, ich sage das X abgeschlossen ist und dann auch XxY und dann gibt es da doch ein Äquivalenz zur Stetigkeit, oder?!
Zum Fixpunkt gab es ein Ungleichung eine Teilaugabe vorher ,nämlich: [mm] d_X(T(x,y),T(x`,y))<=Ld_X(x,x`) [/mm] . Aber wie kann ich den Fixpunkt hier direkt berechen? Da habe ich leider noch keine Ahnung.
Ich danke jedem der mir verscht zu helfen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 28.04.2010 | | Autor: | LariC |
Also zu dem ersten Teil habe ich mir mal folgendes überlegt:
Wähle m [mm] \in [/mm] Bild von T, wobei m:=(0,5x1+y1; 0,5x2+y2)
Nun gilt für
[mm] m1\le(0,5*1+0,5)=1 [/mm] und [mm] m1\ge(0,5*(-1)-0,5)=-1
[/mm]
[mm] m2\le(0,5*1+0,5)=1 [/mm] und [mm] m2\ge(0,5*(-1)-0,5)=-1
[/mm]
Somit ist das Bild in [-1,1]x[-1,1] und damit in X enthalten, denn X entspricht diesem ja genau.
Kann man das so machen und was ist mit den andern beiden Problemen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Mi 28.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Stetigkeit eben einfach mit [mm] \epsilon- \delta [/mm] Definition
Als Fixpunkt ist eigentlich leicht zu sehen x=2y
du musst einfach x=T(x,y) schreiben und nach x auflösen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Mi 28.04.2010 | | Autor: | LariC |
danke - macht schonmal etwas sinn, aber mit der Stetigkeit per Eps.-del. habe ich ja leider stets ein Problem, also so?
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] x,y [mm] \in [/mm] XxY; [mm] dXxY(x,y)<\delta [/mm] -> [mm] d_x(f(x),f(y))<\varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Do 29.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo LariC
wie du es aufgeschrieben hast sieht es nicht gut aus. Ist dir klar, dass es um die fkt T geht die von [mm] X\timesY [/mm] nach X abbildet? y ist dabei fest!
d,h. für jedes y ist das ne andere Abbildung.
also wenn [mm] |x_1-x_2|<\delta(\epsilon) [/mm] muss [mm] |T(x_2,y)-T(x_1,y)|<\epsilon [/mm] sein. und da ist doch ein [mm] \delta [/mm] wirklich leicht zu finden, schreibs nur nicht so allgemein auf, sondern mit der gegebenen Abbildung.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Do 29.04.2010 | | Autor: | LariC |
ja klar, dann steht da am Ende [mm] |0,5(x_2-x_1) |<\varepsilon, [/mm] also gilt, da [mm] |x1-x2|<\delta [/mm] damit [mm] 2\delta<\varepsilon, [/mm] also passt es :)
Danke dir!
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