Bild, Kern, Darstellungsmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Do 12.09.2013 | | Autor: | Physy |
Hallo, folgendes interessiert mich:
Sei f:V->W eine lineare Abbildung (V und W sind K-Vektorräume). Sei M eine Darstellungsmatrix von f.
In welchen Fällen ist dann der Kern/Bild der Darstellungsmatrix gleich dem Kern/Bild von f?
Grüße und danke im Voraus :)
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Bild genau dann, wenn [mm] $W=K^n$ [/mm] für ein $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] und für das Aufstellen von $M$ die Standardbasis von [mm] $K^n$ [/mm] verwendet wurde - der Kern genau dann, wenn $V = [mm] K^m$ [/mm] für ein $m [mm] \in \IN_0$ [/mm] und auch hier die Standardbasis verwendet wurde.
Das sind also nur ganz seltene Spezialfälle, ich nehme an das wolltest du jetzt nicht unbedingt hören...
Ist dir klar, wie man im Allgemeinen aus dem Kern von $M$ den Kern von $f$ bestimmen kann (oder das Bild)?
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:00 Fr 13.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Schadowmaster,
> Bild genau dann, wenn [mm]W=K^n[/mm] für ein [mm]n \in \IN_0[/mm] und für
> das Aufstellen von [mm]M[/mm] die Standardbasis von [mm]K^n[/mm] verwendet
> wurde - der Kern genau dann, wenn [mm]V = K^m[/mm] für ein [mm]m \in \IN_0[/mm]
> und auch hier die Standardbasis verwendet wurde.
Vorsicht: Diese Bedingungen sind hinreichend aber nicht notwendig dafür, dass Kern bzw. Bild von $f$ und $M$ übereinstimmen.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:32 Fr 13.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Physy,
> Sei f:V->W eine lineare Abbildung (V und W sind
> K-Vektorräume). Sei M eine Darstellungsmatrix von f.
Also müssen $V$ und $W$ insbesondere endlich-dimensional sein. Sagen wir mal [mm] $m:=dim_K(V)$ [/mm] und [mm] $n:=dim_K(W)$.
[/mm]
> In welchen Fällen ist dann der Kern/Bild der
> Darstellungsmatrix gleich dem Kern/Bild von f?
Zunächst einmal ist der Kern von $f$ eine Teilmenge von $V$, dagegen der Kern von $M$ eine Teilmenge von [mm] $K^m$. [/mm] Es ist daher im Allgemeinen gar nicht sonderlich "sinnvoll", die beiden Kerne direkt miteinander vergleichen zu wollen.
Analog fürs Bild: Das Bild von $f$ ist eine Teilmenge von $W$, dagegen das Bild von $M$ eine Teilmenge von [mm] $K^n$. [/mm] Ein direkter Vergleich erscheint da wiederum nicht sonderlich "sinnvoll".
Im Spezialfall, dass [mm] $V=K^m$ [/mm] und [mm] $W=K^n$ [/mm] gelten und $M$ die Darstellungsmatrix von $f$ bezüglich der Standardbasen von [mm] $K^m$ [/mm] bzw. [mm] $K^n$ [/mm] ist, stimmen jedoch Kerne bzw. Bilder von $f$ und $M$ überein.
Im Allgemeinen gilt folgender Zusammenhang zwischen den Kernen / Bildern von $f$ und $M$:
Wenn $M$ die Darstellungsmatrix von $f$ bezüglich Basen [mm] $B=(b_1,\ldots,b_m)$ [/mm] und [mm] $C=(c_1,\ldots,c_n)$ [/mm] von $V$ bzw. $W$ ist, so sind
[mm] $\Phi_B\colon K^m\to V,\quad(\lambda_1,\ldots,\lambda_m)\mapsto\sum_{i=1}^n\lambda_ib_i$
[/mm]
und
[mm] $\Phi_C\colon K^n\to W,\quad (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\mapsto\sum_{i=1}^n\lambda_ic_i$
[/mm]
Isomorphismen und es gelten die Zusammenhänge
[mm] $\operatorname{Kern(f)}=\Phi_B(\operatorname{Kern}(M))$
[/mm]
und
[mm] $\operatorname{Bild}(f)=\Phi_C(\operatorname{Bild}(M))$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 So 09.02.2014 | | Autor: | Physy |
Hallo, nochmal. Ich habe nochmal eine Frage zum letzten Post. Ist mit den Abbildungen [mm] \phi_{B}, \phi_{C} [/mm] auch möglich auf die Eigenvektoren und Eigenwerte der linearen Abbildungen rückschließen? Ich habe die lineare Algebra von Fischer, da steht das leider nicht explizit drinne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 Mo 10.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Physy!
Es gilt z.B.:
Sei [mm] $f\colon V\to [/mm] V$ ein Endomorphismus eines (endlich-dimensionalen) $K$-Vektorraumes $V$. Sei [mm] $B=(b_1,\ldots,b_n)$ [/mm] eine Basis von $V$ und $M$ die Matrix von $f$ bezüglich $B$.
Dann stimmen die Eigenwerte von $f$ und $M$ überein.
Außerdem ist ein Vektor [mm] $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n$ [/mm] genau dann Eigenvektor von $M$, wenn [mm] $\sum_{i=1}^n\lambda_ib_i$ [/mm] Eigenvektor von $f$ ist.
(D.h. unter dem Isomorphismus
$ [mm] \Phi_B\colon K^m\to V,\quad(\lambda_1,\ldots,\lambda_m)\mapsto\sum_{i=1}^n\lambda_ib_i [/mm] $
entsprechen die Eigenvektoren von $M$ denen von $f$.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Fr 13.09.2013 | | Autor: | Physy |
Danke für eure Bemühungen :) Das hat mir sehr geholfen.
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