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| Aufgabe | Sei a eine reelle Zahl. Bestimmen Sie in den folgenden Fällen jeweils - in Abhängigkeit von a - das Bild der Abbildung f M-> N und für jedes b [mm] \in [/mm] Bild(f) - in Abhängigkeit von a und b die Urbildmenge von b unter f
(i) M = [mm] \IR [/mm] = N , f(x):=x²+ax [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
(ii) M = [mm] \IR [/mm] = N , f(z):=z²+az [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] \ [hier hat der Prof. ein umgedrehtes D geschrieben, wofür das steht, weis ich leider nicht] |
Tag zusammen,
höflicherweise bekommen wir von unserem Prof. Hinweise zur Lösung. Jedoch muss ich gestehen, dass diese mich nicht wirklich weitergebracht haben.
b liegt im Bild von f, womit wir auf x²+ax-b kommen schreibt er unter anderem (okay, außer das es ausgerechnet -b sein soll wäre ich dorthin auch noch gekommen). Doch jetzt soll ich angeblich in die PQ Formel einsetzen um eine Art Bedingung zu bekommen.
Diesen Schritt verstehe ich nicht, was soll mir das Nützen und welche Werte soll ich in die PQ Formel einsetzen?
Und noch am Rande: Wo ist der große Unterschied zwischen Aufgabe (i) und (ii) außer dem Definitionsbereich? (Wobei ich noch immer nicht weis wofür das umgedrehte D stehen soll, aber welchen Unterschied sollte das machen?).
Danke im Voraus,
Gruß xyfreeman
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei a eine reelle Zahl. Bestimmen Sie in den folgenden
> Fällen jeweils - in Abhängigkeit von a - das Bild der
> Abbildung f M-> N und für jedes b [mm]\in[/mm] Bild(f) - in
> Abhängigkeit von a und b die Urbildmenge von b unter f
>
> (i) M = [mm]\IR[/mm] = N , f(x):=x²+ax [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
> (ii) M =
> [mm]\IR[/mm] = N , f(z):=z²+az [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] \ [hier hat der Prof.
> ein umgedrehtes D geschrieben, wofür das steht, weis ich
> leider nicht]
> Tag zusammen,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bei dem umgedrehten D handelt es sich um ein C, nämlich um [mm] \IC, [/mm] die komplexen Zahlen.
Um zu entscheiden, welche Funktionswerte vorkommen können, würde ich erstmal [mm] x^2+ax [/mm] als [mm] (x+???)^2+... [/mm] schreiben.
Im ersten Fall sieht man dann ja schon ganz gut, welche Werte vorkommen können.
Im zweiten Fall kannst Du dir z als z=p+iq schreiben und dann mal schauen.
Wenn Du sagen sollst, welches das Urbild von b ist, bedeutet das ja, daß Du die x (bzw. in Aufg. ii) die z) herausfinden sollst, für welche [mm] x^2+ax=b [/mm] ist, bzw. wie Dein wirklich netter Prof. Euch verrät: die x mit [mm] x^2+ax-b=0.
[/mm]
Es ist hier also die Lösung einer quadratischen Gleichung gefordert. Und solch eine Gleichung lösen viele Menschen mit der pq-Formel. Oder eben mit quadratischer Ergänzung.
> Und noch am Rande: Wo ist der große Unterschied zwischen
> Aufgabe (i) und (ii) außer dem Definitionsbereich?
Diese Frage sollst Du Dir vermutlich im Verlaufe Deiner Rechnungen beantworten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mo 05.11.2007 | | Autor: | xyfreeman |
Dankeschön!
Hilft mir schon weiter.
Gruß xyfreeman
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Hi Ich habe auch das Problem mich mit ähnlichen Aufgaben rumschlagen zu müssen. Ich habe allerdings in der Erklärung nicht verstanden, wie ich die x²+ ax - Gleichung auflösen soll? Und warum kann ich bei (ii) einfach das für z einsetzen? Was hab ich davon, wenn ich aufeinmal q und p dort stehen habe? Ist das Bild denn eigentlich das gleiche wie eine Abbildung? Müsst ich also eigentlich nur a bestimmen und fertig wär mein Bild? Sehr viele Fragen, aber ich hoffe, dass mir jmd. helfen kann! Viele Grüße!
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> Hi Ich habe auch das Problem mich mit ähnlichen Aufgaben
> rumschlagen zu müssen. Ich habe allerdings in der Erklärung
> nicht verstanden, wie ich die x²+ ax - Gleichung auflösen
> soll?
Hallo,
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Du meinst fürs Bild? "Scheitelpunktform der Parabel" ist da das passende Stichwort.
Fürs Urbild v. b ist dann, wie erwähnt, die quadratische Gleichung x²+ ax - b=0 zu lösen.
> Und warum kann ich bei (ii) einfach das für z
> einsetzen? Was hab ich davon, wenn ich aufeinmal q und p
> dort stehen habe?
z soll aus [mm] \IC [/mm] sein, und man weiß ja, daß man jede Zahl aus [mm] \IC [/mm] schreiben kann als p+ip mit p,p reell.
Wenn Du's anders herausbekommst, kannst Du's natürlich auch anders machen.
> Ist das Bild denn eigentlich das gleiche
> wie eine Abbildung? Müsst ich also eigentlich nur a
> bestimmen und fertig wär mein Bild?
Es wäre sicher anzuraten, daß Du Dich mit dem Begriff "Bild einer Menge" vertraut machst. Das Bild ist eine Menge.
Gruß v. Angela
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Lieben Dank für die Hilfe! Aber ich steh immer noch relativ im Dunkeln. Genau das versteh ich ja nicht, was überhaupt dieses Bild einer Menge ist, ich sitze hier schon umringt von 6 Büchern und in keinem ist das erklärt.. und woher weiß ich denn bei (ii) mein p und q, das ist mir auch immer noch nicht so klar, oder darf ich da dann einfach was einsetzen? dann hätte ich ja dann da stehen ( p² -q ) + a ( p+iq).. wie bringt mich das denn weiter? Warum mache ich nicht bei beiden Gleichungen das mit der Scheitelpunktsformel?
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> Lieben Dank für die Hilfe! Aber ich steh immer noch relativ
> im Dunkeln. Genau das versteh ich ja nicht, was überhaupt
> dieses Bild einer Menge ist, ich sitze hier schon umringt
> von 6 Büchern und in keinem ist das erklärt..
Hallo,
na, wenn die Bücher, mit denen Du Dich umgeben hast, Analysisbücher fürs erste Semester sind, solltest Du die Definition schon drin finden.
Sei f: [mm] D\to [/mm] W und [mm] A\subseteq [/mm] W.
Dann ist das Bild von A, f(A) die Menge aller Funktionswerte, die man beim Einsetzten von Elementen aus A in die Funktion f erhält.
Formal: [mm] f(A):=\{ f(a)| a\in A\} [/mm] oder anders [mm] f(A):=\{y| y=f(a) mit a\in A\}
[/mm]
> und woher
> weiß ich denn bei (ii) mein p und q, das ist mir auch immer
> noch nicht so klar,
Du weißt Dein p und q genauso konkret wie Dein z, nämlich gar nicht. Aber wir wissen, daß sich komplexe Zahlen u.a. in dieser von mir angegebenen Form schreiben lassen.
Wenn Du anders da Bild der Menge auch erkennst, brauchst Du das ja nicht zu machen.
> oder darf ich da dann einfach was
> einsetzen? dann hätte ich ja dann da stehen ( p² -q ) + a (
> p+iq)..
Über das Quadrat von (p+iq) solltest Du nochmal gründlich nachdenken.
> wie bringt mich das denn weiter?
Du kannst dann nach Realteil und Imaginärteil sortieren und gucken, ob [mm] f(\IC) [/mm] den kompletten [mm] \IC [/mm] ergibt odr nicht.
> Warum mache ich
> nicht bei beiden Gleichungen das mit der
> Scheitelpunktsformel?
Du mußt das tun, womit Du Dein Ziel erreichst.
Ich (!) kann, wenn ich komplexe Zahlen habe, das Ergebnis nicht einfach aus der Scheitelpunktform ablesen - daß es Leute gibt, die da mehr sehen, will ich nicht ausschließen.
Gruß v. Angela
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Ich muss gestehen, jetzt habe ich doch noch ein Problem.
Die Funktion besitzt keine vordefinierten Werte, also alles ist in allgemeinen Buchstaben gehalten (in diesem Fall a & b). Wie soll ich denn das in die PQ Formel einsetzen? Wenn ich mir irgendetwas ausdenke kann ich doch auf unterschiedliche Lösungen kommen, oder nicht?
mfg
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> Ich muss gestehen, jetzt habe ich doch noch ein Problem.
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> Die Funktion besitzt keine vordefinierten Werte, also alles
> ist in allgemeinen Buchstaben gehalten (in diesem Fall a &
> b). Wie soll ich denn das in die PQ Formel einsetzen? Wenn
> ich mir irgendetwas ausdenke kann ich doch auf
> unterschiedliche Lösungen kommen, oder nicht?
>
> mfg
hallo,
mach Dir klar, daß Deine Variable x bzw. z ist.
a,b sind zwar beliebig, aber fest. Die mußt Du so behandeln, als wären es irgendwelche reellen Zahlen. Wenn du mal nicht mehr weiterweißt, stell Dir vor(!), da stünden 5 und 7.
Du mußt da halt mit Buchstaben rechnen.
Gruß v. Angela
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Wiederum Danke : )
Aber ich schätze irgend ein Gedanke fehlt mir noch. Ich kann nichts damit anfangen, a & b in die PQ Formel einzusetzen. Beliebige Werte kann ich jedoch auch nicht nehmen.
Was übersehe ich?
Gruß xyfreeman
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> Aber ich schätze irgend ein Gedanke fehlt mir noch. Ich
> kann nichts damit anfangen, a & b in die PQ Formel
> einzusetzen. Beliebige Werte kann ich jedoch auch nicht
> nehmen.
>
> Was übersehe ich?
Hallo,
möglicherweise nichts...
Vielleicht fehlt Dir die Bereitschaft oder Erfahrung, mit Buchstaben zu rechnen.
Tu jetzt man folgendes:
Schreib Deine pq- Formel mal auf. Ganz normal. Also: [mm] x^2+px [/mm] +q=0 und dazu die Lösungsformel.
Dann schreib die quadratische Gleichung auf, die Du jetzt lösen möchtest, und dann können wir ja mal suchen, was dem p und q entspricht.
Nur vorbeugend gefragt: quadratische Gleichungen mit Zahlen kannst Du lösen? Falls Du es nicht kannst, mußt Du es Dir schleunigst beibringen. Jetzt. Sofort. Weil, wenn Du's mit Zahlen nicht kannst, wird's mit Buchstabn natürlich schwierig.
Gruß v. Angela
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Mit Buchstaben zu rechnen ist mir weitgehend neu, stimmt.
Aber natürlich ist mir die PQ Formel hin und wieder begegnet...
Ich komme auf -(a/2) [mm] \pm [/mm] Wurzel aus a²/4 - (-b)
Und damit kann ich ehrlich gesagt rein gar nichts anfangen.
Ich muss aber auch gestehen, wenn ich konkrete Werte hätte, wüsste ich mittlerweile nicht mal mehr was mein Ergebnis bedeuten soll bzw. wie ich damit weiter verfahre (wenn überhaupt von Nöten).
Diese "Art" von Aufgaben ist noch ungewohnt für mich, ändert sich sicher rasch. ;)
Gruß xyfreeman
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> Ich komme auf -(a/2) [mm]\pm[/mm] Wurzel aus a²/4 - (-b)
hallo,
mach Dich mal allmählich mit dem Formeleditor vertraut, Eingabehilfen findest Du unterhalb des Eingabefensters.
> Und damit kann ich ehrlich gesagt rein gar nichts anfangen.
> Ich muss aber auch gestehen, wenn ich konkrete Werte hätte,
> wüsste ich mittlerweile nicht mal mehr was mein Ergebnis
> bedeuten soll bzw. wie ich damit weiter verfahre (wenn
> überhaupt von Nöten).
Du wolltest wissen, welche Elemente x auf b abgebildet werden, für welche x also f(x)=b <==> [mm] x^2+ax=b [/mm] <==> [mm] x^2+ax-b [/mm] =0 gilt.
Zu diesem Zwecke hast Du die Gleichung nach x aufgelöst mit obigem Ergebnis.
Meditieren mußt Du nun noch über den Ausdruck unter der Wurzel:
Was ist, wenn a²/4 - (-b)=0 ist, wieviele Lösungen x gibt's dann?
Was ist, wenn a²/4 - (-b)<0 ist, wieviele Lösungen x gibt's dann?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Mi 07.11.2007 | | Autor: | xyfreeman |
Danke für die Denkanstöße, hat mich erneut weitergebracht.
Den letzten Schliff habe ich durch die Zusammenarbeit mit Kommilitonen bekommen (hoffe ich doch):
Wir kommen auf eine Urbildmenge von
{x [mm] \in [/mm] M : f(x) [mm] \in [/mm] Bild(f) | [mm] \bruch{a²}{4} [/mm] + b [mm] \ge [/mm] 0 }
Womit's dann wohl gelöst sein dürfte. (Das Bild ist ja lediglich x²+ax=b wenn ich mich nicht (erneut) irre).
Aufgabe (ii) dürfte dann noch "leichter" ausfallen, da der [mm] \ge [/mm] Anteil aufgrund der komplexen Zahlen entfällt.
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