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| Aufgabe | | Gegeben sei die Matrix $A = [mm] \begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}$. [/mm] Bestimme die TNF von A und die Basis des Bildes. |
Die TNF ist einfach und auch richtig, konnte mir zumindest der Rechenknecht bestätigen.
A ind TNF ist: [mm] $\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}$
[/mm]
Bei der zweiten Aufgabe bekomme ich jedoch Probleme.
Wie bestimmt man doch gleich das Bild der Matrix? Eigentlich ist ein Bild der Matrix ja schlicht ihre Spaltenvektoren. Allerdings ist nach der Basis gefragt.
Also müsste ich versuchen die Matrix umzuformen und die linear unabhängigen Spaltenvektoren sind dann die Basiselemente?
Also wenn ich das mal via Spaltenumformung berechne kriege ich die Matrix:
[mm] $\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-1&3&0&0\\-2&3&0&-5\\1&0&0&11\end{bmatrix}$
[/mm]
Das wäre dann aber eine ausgesprochen hässliche Basis des Bildes. Die würde ja dann so aussehen:
$B = [mm] \left ( \begin{bmatrix}0\\-1\\-2\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\3\\3\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\-5\\11\end{bmatrix} \right [/mm] )$
Stimmt das so? Kann doch gar nicht sein oder?
Vielen Dank bereits im voraus. Ich hoffe die Klausur gelingt mir am Montag.
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Hallo,
> Wie bestimmt man doch gleich das Bild der Matrix?
> Eigentlich ist ein Bild der Matrix ja schlicht ihre
> Spaltenvektoren. Allerdings ist nach der Basis gefragt.
Bringe die transponierte Matrix in TNF, damit erhältst du ja eine Basis des Zeilenraums, der vorher der Spaltenraum war. Letzterer ist aber gerade das Bild der Matrix.
Grüße
EDIT: Deine Basis sieht bist auf den letzten Vektor gut aus. Der sollte (0,0,-5,5) bzw. (0,0,-1,1) heißen, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Obiger Hinweis dient zur systematischen Herangehensweise bei solchen Aufgaben. Viel Erfolg bei der Klausur!
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