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Hallo!!Ich hätte eine Frage an euch.viell. kann mir jemand helfen  !!
Also: Die lineare Abbildung [mm] f:R^{4} [/mm] -----> [mm] R^{3} [/mm] ist gegeben durch:
f(3,2,1,1)=(1,1,2)
f(1,2,1,-1)=(2,0,-1)
f(-1,1,0,3)=(3,1,1)
f(0,2,-1,2)=(5,1,0)
Ich nehme an,dass V=((3,2,1,1),(1,2,1,-1),(-1,1,0,3),(0,2,-1,2)) eine basis von [mm] R^{4} [/mm] ist!!!
So ich soll nun den kern und das Bild berechnen!!
Kern:={x [mm] \in R^{4}| [/mm] f(x)=0}
Bild := {f(x) | x [mm] \in R^{4}}
[/mm]
Wie soll ich nun vorgehen??MFG Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 So 12.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo nitro,
Du fängst so an:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 3 & 2}
[/mm]
f [mm] \mapsto
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 0}
[/mm]
Dann formst du die obere Matrix durch elementare Spaltenumformung auf die Einheitsmatrix [mm] E_{4} [/mm] um und machst jeden Umformungsschritt bei der unteren Matrix mit. Du erhältst dann so etwas:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] \pmat{ f(e1) & f(e2) & f(e3) & f(e4)}
[/mm]
...die zu den
kanonischen Basisvektoren gehörigen
Bilder unter f.
Den Kern würde ich dann mittels Lösen eines Gleichunssystems der Form:
x1*f(e1) + x2*f(e2)+ x3*f(e3)+ x4*f(e4) = 0
lösen, wobei e1,..2 die jeweiligen kanonischen Basisvektoren bezeichnen.
Als Lösung bekommst du dann die Koordinaten (unter der kanonischen Koordinatisierung) derjenigen Vektoren, welche unter f auf den Nullvektor abgebildet werden.
Hoffe dir soweit geholfen zu haben.
Liebe Grüße,
Nilez
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