Bild v. Nullmengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Bambi |
Hallo liebe MatheRaum.de Community,
ich benötige Hilfe beim Führen eines Beweises:
Ich soll Zeiten, dass das Bild einer Lebesgue-Nullmenge unter einer Lipschitz-stetigen Funktion wieder eine Nullmenge ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Bambi!
Da ich die Frage hier schon einmal (vor ca. einem Jahr) beantwortet habe, fällt es mir leich die Antwort einfach zu kopieren  :
Bilder von Nullmengen Lipschitz-stetiger Abbildungen [mm]f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/mm] sind wieder Nullmengen.
Es sei N eine Nullmenge und [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig gewählt. Dann gibt es eine Familie von Würfeln [mm] (J_i), [/mm] die N überdecken und für die
[mm] \sum_{J_i \cap N \ne \emptyset} \vert J_i\vert < \varepsilon[/mm]
gilt. Sei [mm]J_i[/mm] von der Kantenlänge [mm]s_i[/mm]. Weiterhin sei [mm]x_0 \in N \cap J_i[/mm]. Dann gilt für alle [mm]x \in N \cap J_i[/mm]:
[mm]\Vert f(x) - f(x_0)\Vert \le L \cdot \Vert x - x_0\Vert \le L \cdot s_i[/mm] ,
d.h. [mm]f(x)[/mm] liegt in einem Würfel um [mm]f(x_0)[/mm] der Kantenlänge [mm]2Ls_i[/mm].
Dieser Würfel hat also das Volumen [mm](2L)^n \vert J_i\vert[/mm]. Mit anderen Worten: [mm]f(N)[/mm] wird überdeckt von Würfeln [mm](K_i)[/mm] mit
[mm] \sum_{K_i \cap f(N) \ne \emptyset} \vert K_i\vert < (2L)^n \varepsilon[/mm]
Da [mm]\varepsilon[/mm] beliebig war, ist [mm]f(N)[/mm] eine Lebesgue-Nullmenge.
Liebe Grüße
Stefan
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