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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Matrix C, die die folgende auf Jordansche Normalform tranformiert.
A= [mm] \pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] |
Hallo,
Also bin schon mal soweit gekommen:
1. Schritt: Charakteristisches Polynom bestimmen:
det (A- [mm] \lambda [/mm] I) = 0
das wäre dann - [mm] \lambda^{3} [/mm] = 0 , also [mm] \lambda [/mm] = 0 (dreifache NS)
2.Schritt für [mm] \lambda [/mm] = 0 in das Chara.Polynom einsetzen und zugehörigen Eigenvektor bestimmen : [mm] \Rightarrow [/mm] (1,0,0)
3. Schritt: Potenzen von A bilden , dass ergibt dann
A*A= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Vektor dazu wäre dann (1,1,0)
4.Schritt Nun soll ein Vektor a bestimmt werden , der nicht im Kern von A liegt , aber im Kern von A*A . also (0,1,0) z.B:
Dann bildet man A1*a = a1 = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
jetzt meine Frage wie setzt sich nun diese Matrix C zusammen?????????
sieht sie dann so aus:
C= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
das sind der der Vektor a, der Vektor a1 und der Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 0
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo student0815,
> Bestimmen Sie eine Matrix C, die die folgende auf
> Jordansche Normalform tranformiert.
>
> A= [mm]\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> Hallo,
> Also bin schon mal soweit gekommen:
>
> 1. Schritt: Charakteristisches Polynom bestimmen:
> det (A- [mm]\lambda[/mm] I) = 0
> das wäre dann - [mm]\lambda^{3}[/mm] = 0 , also [mm]\lambda[/mm] = 0
> (dreifache NS)
>
> 2.Schritt für [mm]\lambda[/mm] = 0 in das Chara.Polynom einsetzen
> und zugehörigen Eigenvektor bestimmen : [mm]\Rightarrow[/mm]
> (1,0,0)
>
> 3. Schritt: Potenzen von A bilden , dass ergibt dann
> A*A= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Vektor dazu wäre dann (1,1,0)
>
> 4.Schritt Nun soll ein Vektor a bestimmt werden , der
> nicht im Kern von A liegt , aber im Kern von A*A . also
> (0,1,0) z.B:
>
> Dann bildet man A1*a = a1 = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> jetzt meine Frage wie setzt sich nun diese Matrix C
> zusammen?????????
>
> sieht sie dann so aus:
>
> C= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> das sind der der Vektor a, der Vektor a1 und der
> Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] = 0
Da A nilpotent vom Nilpotenzgrad 3, ist für jedes [mm]
v\; \notin \;Kern\;A^2 [/mm] das Vektorsystem [mm]\left( {v,\;A\;v,\;A^2 \;v} \right)[/mm] eine Basis von [mm]\IR^{3}[/mm]. Das ist dann die Matrix C.
Gruß
MathePower
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Hallo,
also wäre dann ja z.B.
(1,0,0) [mm] \not\in A^{2} [/mm]
aber dann wäre A*v=(0,0,0) und [mm] A^{2}=(0,0,0) [/mm]
oder muss man einen vektor nehmen der NICHt in Kern [mm] A^{2} [/mm] liegt UND nicht
im Kern von A?
das wäre dann z.b. (0,0,1)
A*(0,0,1) = (2,2,0) und [mm] A^{2}=(4,0,0) [/mm]
Also C dann
C= [mm] \pmat{ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo student0915!
Wenn ein Vektor nicht im Kern von [mm] $A^2$ [/mm] liegt, dann liegt er automatisch auch nicht im Kern von $A$.
Denn ist $x [mm] \in [/mm] Kern(A)$, so folgt:
$A^2x = A(Ax) = A0 = 0$.
Den Vektor [mm] $e_1$, [/mm] den du zuerst angegeben hast, liegt im Kern von [mm] $A^2$, [/mm] wohingegen der zu letzte angegebene Vektor [mm] $e_3$ [/mm] nicht im Kern von [mm] $A^2$ [/mm] liegt : ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Julius
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