Bilder, Vektoren, Abbildungen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Sa 30.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | K ist ein Körper.
V und W sind endlich-dimensionale K-Vektorräume, mit dim(V)=n und dim(W)=m und nm>0.
Φ:V $ [mm] \to [/mm] $ W ist ein Vektorraumhomomorphismus mit r=rangΦ.
Es sollen Basen $ [mm] B_{V} [/mm] $ von V und $ [mm] B_{W} [/mm] $ von W konstruiert werden, so dass:
$ [mm] M_{B_{V},B_{W(Φ)}}=\pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] $ gilt.
Man kann eine Basis $ [mm] (v_{r+1},...,v_{n}) [/mm] $ von ker(Φ) zu einer Basis $ [mm] B_{V}=(v_{1},...,v_{r},v_{r+1},...,v_{n}) [/mm] $ von V ergänzen.
Für i=1,...,r setzt man $ [mm] w_{i}:=Φ(v_{i}). [/mm] $
Aufgabe:
Zu zeigen ist, dass im(Φ) von [mm] \{w_{1},...,w_{r}\} [/mm] erzeugt wird. |
Hallo,
ich weiß mal wieder nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Ich weiß, dass die Bilder von [mm] v_{i} [/mm] unter der Abbildung Φ [mm] =\{w_{1},...,w_{r}\} [/mm] sind.
Muss ich bei der Aufgabe jetzt genau das beweisen?
Wie gehe ich vor?
Vielen Dank schonmal, Paula.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 So 01.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Moin,
> K ist ein Körper.
> V und W sind endlich-dimensionale K-Vektorräume, mit
> dim(V)=n und dim(W)=m und nm>0.
> Φ:V [mm]\to[/mm] W ist ein Vektorraumhomomorphismus mit r=rangΦ.
> Es sollen Basen [mm]B_{V}[/mm] von V und [mm]B_{W}[/mm] von W konstruiert
> werden, so dass:
> [mm]M_{B_{V},B_{W(Φ)}}=\pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] gilt.
>
> Man kann eine Basis [mm](v_{r+1},...,v_{n})[/mm] von ker(Φ) zu
> einer Basis [mm]B_{V}=(v_{1},...,v_{r},v_{r+1},...,v_{n})[/mm] von V
> ergänzen.
> Für i=1,...,r setzt man [mm]w_{i}:=Φ(v_{i}).[/mm]
>
> Aufgabe:
> Zu zeigen ist, dass im(Φ) von [mm]\{w_{1},...,w_{r}\}[/mm] erzeugt
> wird.
> Hallo,
> ich weiß mal wieder nicht, wie ich an die Aufgabe
> rangehen soll.
>
> Ich weiß, dass die Bilder von [mm]v_{i}[/mm] unter der Abbildung Φ
> [mm]=\{w_{1},...,w_{r}\}[/mm] sind.
Naja, die [mm] $w_i$ [/mm] sind nur die Bilder von [mm] $v_1,\ldots,v_r$, [/mm] nicht die von [mm] $v_{r+1},\ldots,v_n$.
[/mm]
> Muss ich bei der Aufgabe jetzt genau das beweisen?
Nein, das hast du ja gegeben. Du weißt, dass [mm] $(v_1, \ldots, v_n)$ [/mm] eine Basis von V ist, damit wird [mm] $im(\Phi)$ [/mm] auf jeden Fall von [mm] $(\Phi(v_1), \ldots, \Phi(v_n))$ [/mm] erzeugt. Nun liegen [mm] $v_{r+1}, \ldots, v_n$ [/mm] im Kern von [mm] $\Phi$, [/mm] d.h. [mm] $\Phi(v_{r+1})=\ldots=\Phi(v_n)=0$, [/mm] diese kannst du also aus dem Erzeugendensystem rauslassen, das Erzeugnis des Nullvektors ist immer nur der Nullvektor, das ist ja klar. Damit wird also [mm] $im(\Phi)$ [/mm] bereits von [mm] $(\Phi(v_1),\ldots,\Phi(v_r))$ [/mm] erzeugt, und da [mm] $w_1=\Phi(v_1),\ldots,w_r=\Phi(v_r)$ [/mm] folgt die Behauptung.
LG Lippel
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