Bildung einer Basis durch Vekt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo! Ich habe folgende Aufgabe:
"Für welche r [mm] \in \IR [/mm] bilden die Vektoren (1,r,0), (r,0,1), (0,1,r) eine Basis des [mm] \IR³?"
[/mm]
Wenn die Vektoren eine Basis von [mm] \IR³ [/mm] sein sollen, müssen sie ja linear unabhängig sein...
Da hab ich nun versucht, das Gleichungssystem s(1,r,0) + t(r,0,1) + u(0,1,r) = (000) zu lösen. Da kam allerdings jedes mal 0=0 raus (hab verschiedene Wege probiert).
Und wie kann ich das nun lösen?
Im Prinzip müssen ja s, t und u = 0 sein, wenn die Vektoren lin. unabhängig sein müssen. Von daher ist es ja egal, wie r gewählt ist.
Aber, es gibt auf diese Aufgabe 3Punkte...von daher wird da wohl irgend eine tolle Rechnung verlangt sein...
Wäre supi, wenn mir da jm helfen könnte....
DANKE!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du musst schauen (mit Gaußschem Eliminationsverfahren oder durch Bildung der Determinante, falls ihr das schon hattet), für welche $r$ die Matrix
[mm] $\pmat{1 & r & 0 \\ r & 0 & 1 \\ 0 & 1 & r}$
[/mm]
vollen Rang hat. Nach meiner Rechnung ist das genau für $r [mm] \ne [/mm] -1$ der Fall.
Liebe Grüße
Stefan
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