Bilinearform auf Polynomen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Ledi |
| Aufgabe | Wir betrachten die Abbildung
[mm] \beta: $\IR [/mm] (t)$ [mm] \times [/mm] $ [mm] \IR [/mm] (t) $ [mm] \to \IR [/mm] : [mm] (p,q)\mapsto \tilde{p}(1)\* \tilde{q}(1) [/mm]
wobei [mm] \sim [/mm] wie üblich die Auswertungsoperation bezeichnet.
Sei nun [mm] n\in\IN_{0} [/mm] und [mm] \beta_{n} [/mm] die Einschränkung [mm] \beta_{n}:= \beta |_{\IR (t) \le n \times \IR (t) \le n} [/mm] : [mm] \IR (t)_{\le n} \times \IR (t)_{\le n} \to \IR.
[/mm]
(i) Für welche $n$ ist [mm] \beta_{n} [/mm] nicht ausgeartet?
(ii) Bestimmen Sie die darstellende Matrix [mm] [\beta_{n}]_{B\times B} [/mm] bezüglich der Basis B:= [mm] \{t^k\}_{k\le n}. [/mm] |
Hi!
Ich hab da mal eine Frage zu dieser Aufgabe.
Ich bin der Meinung, dass es für alle [mm] n\in\IN [/mm] bei der Nullfunktion gilt.
Und bei der Matrix kommen nur Einsen vor.
Liege ich da richtig?
Gruß Ledi!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Fr 18.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Wir betrachten die Abbildung
> [mm]\beta:[/mm] [mm]\IR (t)[/mm] [mm]\times[/mm] [mm]\IR (t)[/mm] [mm]\to \IR[/mm] : [mm](p,q)\mapsto \tilde{p}(1)\* \tilde{q}(1)[/mm]
> wobei [mm]\sim[/mm] wie üblich die Auswertungsoperation
> bezeichnet.
>
> Sei nun [mm]n\in\IN_{0}[/mm] und [mm]\beta_{n}[/mm] die Einschränkung
> [mm]\beta_{n}:= \beta |_{\IR (t) \le n \times \IR (t) \le n}[/mm] :
> [mm]\IR (t)_{\le n} \times \IR (t)_{\le n} \to \IR.[/mm]
>
> (i) Für welche [mm]n[/mm] ist [mm]\beta_{n}[/mm] nicht ausgeartet?
> (ii) Bestimmen Sie die darstellende Matrix
> [mm][\beta_{n}]_{B\times B}[/mm] bezüglich der Basis B:=
> [mm]\{t^k\}_{k\le n}.[/mm]
> Hi!
>
> Ich hab da mal eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Ich bin der Meinung, dass es für alle [mm]n\in\IN[/mm] bei der
> Nullfunktion gilt.
Was gilt?
> Und bei der Matrix kommen nur Einsen vor.
Ja.
> Liege ich da richtig?
>
> Gruß Ledina!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Ledi |
Hi!
Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Ich denke, falls mein p oder q Nullpolynom ist, dann gilt für alle [mm] n\in\IN, [/mm] dass [mm] \beta_{n} [/mm] nicht ausgeartet ist. Richtig?
Gruß Ledi!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Sa 19.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Hi!
> Erstmal danke für die schnelle Antwort.
>
> Ich denke, falls mein p oder q Nullpolynom ist, dann gilt
> für alle [mm]n\in\IN,[/mm] dass [mm]\beta_{n}[/mm] nicht ausgeartet ist.
> Richtig?
Nein. Du kennst die Definition der Ausgeartetheit einer Bilinearform nicht (oder wendest sie nicht richtig an). Schreibe doch einmal, wie ihr definiert habt, wann [mm] $\beta_{n}$ [/mm] ausgeartet ist.
>
> Gruß Ledi!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Sa 19.04.2014 | | Autor: | Ledi |
Hi!
Wir haben nur nicht ausgeartet definiert.
Eine Bilinearform [mm] \beta [/mm] auf [mm] $\IR (t)_{\le n} \times \IR (t)_{\le n}$ [/mm] heißt nicht ausgeartet in der ersten Variable, wenn aus [mm] $\beta [/mm] (p,q)=0$ für alle [mm] $q\in\IR (t)_{\le n}$ [/mm] folgt, dass $p=0$ ist. Analog heißt [mm] \beta [/mm] nicht ausgeartet inder zweiten Variable, wenn aus [mm] $\beta [/mm] (p,q)=0$ für alle [mm] p\in\IR (t)_{\le n} [/mm] folgt, dass $q=0$ ist. Falls [mm] \beta [/mm] in beiden Variablen nicht ausgeartet ist, so nennen wir [mm] \beta [/mm] eine nicht ausgeartete Bilinearform.
So wie ich es verstanden habe, muss entweder $p$ oder $q$ das Nullpolynom sein.
Gruß Ledi!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Sa 19.04.2014 | | Autor: | hippias |
Genau. Du musst dir also ueberlegen, wenn $p$ ein Polynom vom Grad [mm] $\leq [/mm] n$ ist so, dass fuer alle Polynome $q$ vom Grade [mm] $\leq [/mm] n$ gilt, dass $p(1)q(1)=0$ ist, unter welchen Voraussetzungen an $n$ dann folgt, dass $p=0$ ist. Dies ergibt sich naemlich nicht fuer alle Grade.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Sa 19.04.2014 | | Autor: | Ledi |
Hallo!
Erstmal danke für die viele Hilfe!
Ich versuch's mal mit einem Beispiel:
Für $n=2$:
Dann habe ich [mm] $\beta ({a_{0}t^{0}+a_{1}t^{1}+a_{2}t^{2}, b_{0}t^{0}+b_{1}t^{1}+b_{2}t^{2}}) $\mapsto$ $((a_{0}+a_{1}+a_{2})*t^{0})*((b_{0}+b_{1}+b_{2})*t^{0})$.
[/mm]
Das müsste jetzt gleich $0$ sein. Meine Überlegung ist nun, dass wenn [mm] $a_{0}=a_{1}=a_{2}=0$ [/mm] und/oder [mm] $b_{0}=b_{1}=b_{2}=0$ [/mm] ist, spielt es für mich keine Rolle, was für ein Grad mein Polynom hat, denn er wird auf Grad $0$ abgebildet.
Verstehe ich da was falsch? Wenn ja, wo liegt mein Fehler?
Gruß Ledi!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 So 20.04.2014 | | Autor: | hippias |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Verstehe ich da was falsch? Wenn ja, wo liegt mein Fehler?
>
Ja, im Verstaendnis der Definition: Sei
$K:= \{p\in \IR_{\leq n}[t][mm] |\forall q\in \IR_{\leq n}[/mm] [t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\: \beta_{n}(p,q)=0\}$. Der Raum ist nicht ausgeartet, wenn du beweisen kannst, dass $K$ nur die $0$ enthaelt. Klar, wenn $p=0$ ist, dann folgt $\beta_{n}(p,q)=0$. Aber gibt es noch mehr Moeglichkeiten? Was ist denn z.B. los mit $p= -3t^{7}+6,5t^{3}+0,5t-4$?
> Gruß Ledi!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 So 20.04.2014 | | Autor: | Ledi |
Hi!
Danke für die Antwort!
Ja, okay. Dein Polynom [mm] $p=-3t^{7}+6,5t^{3}+0,5t-4$ [/mm] hat ja den Grad n=7. Dieses Polynom wird ja nun auf [mm] $(-3+6,5+0,5-4)*t^0 [/mm] abgebildet, was ja 0 ergiebt. Allerdings könnte ich ja nun auch bei deinem Beispiel den Grad n=6 wählen und es würde auf das selbe abgebildet werden. So wie ich es nun vertsanden habe, müssen meine Vorfaktoren, also [mm] $(a_{0},a_{1},...,a_{n})=0$ [/mm] ergeben. Und somit ist es ja eigentlich egal, welchen Grad mein Polynom hat.
Mir ist nicht ganz klar was ich beweisen soll, geschweige denn, wie ich es beweisen könnte! Ich verstehe nicht, wo mein Denkfehler ist! Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen!
Gruß Ledi!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Mo 21.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei p [mm] \in \IR (t)_{\le n} [/mm] und
[mm] \beta(p,q)=0 [/mm] für alle q [mm] \in \IR (t)_{\le n}
[/mm]
Das bedeutet
p(1)q(1)=0 für alle q [mm] \in \IR (t)_{\le n}.
[/mm]
Ist nun n [mm] \ge [/mm] 1, so ist q(t):=t ein Element von [mm] \IR (t)_{\le n}
[/mm]
Das liefert
p(1)=0.
Nicht mehr und nicht weniger. Im Falle n [mm] \ge [/mm] 1 kannst Du also aus
[mm] \beta(p,q)=0 [/mm] für alle q [mm] \in \IR (t)_{\le n}
[/mm]
nicht folgern: p=0.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Ledi |
Dankeschön!
Endlich hab ich's verstanden!
Gruß Ledi!
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