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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 So 02.05.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die durch [mm] (XY)=X^{t}Y [/mm] definierte Bilinearform auf [mm] C^{n} [/mm] nicht positiv definit ist. |
Ich habe ein Problem mit diesem Beweis: Ich weiss, dass eine Bilinearform genau dann positiv definit ist, wenn gilt:
<v,v> > 0 für alle v [mm] \in [/mm] V (wenn die Bilinearform VxV -> C ist)
Wie wende ich das jedoch nun auf meine Bilinearform an? Vielen Dank im Voraus für Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 So 02.05.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Man zeige, dass die durch [mm](XY)=X^{t}Y[/mm] definierte
> Bilinearform auf [mm]C^{n}[/mm] nicht positiv definit ist.
> Ich habe ein Problem mit diesem Beweis: Ich weiss, dass
> eine Bilinearform genau dann positiv definit ist, wenn
> gilt:
> <v,v> > 0 für alle v [mm]\in[/mm] V (wenn die Bilinearform VxV ->
> C ist)
Was ergibt denn die Bilinearform angewandt auf (1+i, [mm] 1-i)\in\IC^2 [/mm] ? Ist das Ergebnis überhaupt reell? Denn sonst ist Definitheit nicht einmal definiert, da man auf [mm] \IC [/mm] keine Ordnung definieren kann, d.h. man kann nicht sagen, ob in [mm] \IC [/mm] etwas größer oder kleiner 0 ist.
> Wie wende ich das jedoch nun auf meine Bilinearform an?
> Vielen Dank im Voraus für Hilfe!
Grüße,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 02.05.2010 | | Autor: | natascha |
Vielen Dank für deine rasche Antwort!
Ich habe das ausgerechnet und erhalte:
<1+i,1-i> = (1+i)(1-i) = 1-i+i-i² = 2 -> reele Zahl, Bedingung ok, man kann also bestimmen, ob die positiv definit ist... Ist das korrekt so?
Danach würde ich ein v suchen , für welches gilt <v,v> <= 0 und somit hätte ich ja gezeigt, dass sie nicht positiv definit ist... jedoch wie finde ich ein solches v? durch ausprobieren?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 So 02.05.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Vielen Dank für deine rasche Antwort!
> Ich habe das ausgerechnet und erhalte:
> <1+i,1-i> = (1+i)(1-i) = 1-i+i-i² = 2 -> reele Zahl,
Was du hier ausrechnest ist das Skalarprodukt von zwei eindimensionalen komplexen Vektoren. Das ist keine Bilinearform.
Definitheit überprüft man durch die durch die Bilinearform erzeugte quadratische Form Q(x):=B(x,x), in diesem Fall wäre es:
[mm] Q\left(\vektor{1+i \\ 1-i}\right)=\vektor{1+i & 1-i}*\vektor{1+i \\ 1-i} [/mm] = ...
Dann kannst du es dir mit [mm] \vektor{1+i \\ 1+i} [/mm] anschauen und mit [mm] \vektor{i \\ i}. [/mm] Dann siehst du auch was die Form macht.
> Bedingung ok, man kann also bestimmen, ob die positiv
> definit ist... Ist das korrekt so?
> Danach würde ich ein v suchen , für welches gilt <v,v> <=
> 0 und somit hätte ich ja gezeigt, dass sie nicht positiv
> definit ist... jedoch wie finde ich ein solches v? durch
> ausprobieren?
> Vielen Dank!
Grüße,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 So 02.05.2010 | | Autor: | natascha |
Au ja, jetzt sehe ich, wie das funktioniert! Vielen Dank für deine Geduld :)
Gruss,
Natascha
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