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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 So 06.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen,
bei der Aufgabe:
Es seien K ein Körper und [mm]n \in \IN [/mm], und es sei [mm] \Phi : K^{n\times n}\times K^{n\times n} \rightarrow K [/mm] definiert durch [mm] \Phi (A,B):=Spur(AB)[/mm] für [mm]A,B \in K^{n\times n}[/mm].
Zeige: [mm]\Phi [/mm] ist eine nicht ausgeartete, symmetrische Billinearform auf [mm]^K^{n\times n} [/mm]
Dazu:
Ich habe schon gezeigt, das [mm] \Phi[/mm] eine symmetrische Bllinarform ist, indem ich folgendes gezeigt habe:
[mm] \Phi (sA+A',B)=s\Phi (A,B)+\Phi (A',B)[/mm]
und
[mm]\Phi (A,sB+B')=s\Phi (A,B)+\Phi (A,B')[/mm]
wobei [mm]A, A',B,B' \in K^{n\times n}, s\in K [/mm] gilt.
[mm]\Rightarrow \Phi[/mm] ist eine Billinearform
Weiterhin gilt:
[mm] \Phi (A,B)=\Phi (B,A)[/mm]
[mm]\Rightarrow \Phi[/mm] ist eine symmetrische Billinearform.
Jedoch beim Beweis, dass [mm] \Phi [/mm] nicht ausgeartet ist hänge ich.
Ich muss ja zeigen, dass, wenn [mm] \Phi (A,B)=0[/mm] ist, für alle [mm]A\in K^{n\times n}[/mm]
[mm]B=\vec 0[/mm] ist. ([mm]\vec 0[/mm] soll Nullmatrix sein)
Wenn [mm] \Phi (A,B)=0=Spur(AB)[/mm].
Hatte mir überlegt, das man folgendes für die Spur(AB) schreiben kann:
[mm] Spur(AB)=\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} a_{ji}b_{ij}[/mm]
Aber ich weiß nicht wie ich folgern kann, dass dann [mm]B=\vec 0[/mm] gilt.
Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp geben wie ich das zeigen könnte.
Bis denne Jessica.
(Das habe ich selber abgetippt. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") Mein Haussklave hat heute einen "bezahlten" Urlaubstag! ![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]") )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 So 06.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> Es seien K ein Körper und [mm]n \in \IN [/mm], und es sei [mm]\Phi : K^{n\times n}\times K^{n\times n} \rightarrow K [/mm] definiert durch [mm]\Phi (A,B):=Spur(AB)[/mm] für [mm]A,B \in K^{n\times n}[/mm].
> Zeige: [mm]\Phi [/mm] ist eine nicht ausgeartete, symmetrische Billinearform auf [mm]^K^{n\times n} [/mm]
>
> Dazu:
>
> Ich habe schon gezeigt, das [mm]\Phi[/mm] eine symmetrische Bllinarform ist, indem ich folgendes gezeigt habe:
>
> [mm]\Phi (sA+A',B)=s\Phi (A,B)+\Phi (A',B)[/mm]
>
> und
>
> [mm]\Phi (A,sB+B')=s\Phi (A,B)+\Phi (A,B')[/mm]
>
> wobei [mm]A, A',B,B' \in K^{n\times n}, s\in K [/mm] gilt.
>
> [mm]\Rightarrow \Phi[/mm] ist eine Billinearform
>
> Weiterhin gilt:
>
> [mm]\Phi (A,B)=\Phi (B,A)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \Phi[/mm] ist eine symmetrische Billinearform.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (natürlich nur, wenn dein Beweisganz korrekt ist).
> Jedoch beim Beweis, dass [mm]\Phi [/mm] nicht ausgeartet ist hänge ich.
>
> Ich muss ja zeigen, dass, wenn [mm]\Phi (A,B)=0[/mm] ist, für alle [mm]A\in K^{n\times n}[/mm]
> [mm]B=\vec 0[/mm] ist. ([mm]\vec 0[/mm] soll Nullmatrix sein)
Das ist etwas mißverständlich formuliert:
Du mußt das zeigen:
Wenn [mm]\Phi (A,B)=0[/mm] für alle [mm]A\in K^{n\times n}[/mm], dann folgt $B=0$.
> Wenn [mm]\Phi (A,B)=0=Spur(AB)[/mm].
> Hatte mir überlegt, das man folgendes für die Spur(AB) schreiben kann:
> [mm]Spur(AB)=\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} a_{ji}b_{ij}[/mm]
Sieht gut aus.
> Aber ich weiß nicht wie ich folgern kann, dass dann [mm]B=\vec 0[/mm] gilt.
>
> Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp geben wie ich das zeigen könnte.
Du könntest ja auch die Umkehrung zeigen:
[mm] $B\neq0\ \Rightarrow\$ [/mm] Es gibt ein [mm] $A\in K^{n\times n}$, [/mm] so dass [mm]\Phi (A,B)\neq0[/mm].
Das dürfte dann recht einfach zu zeigen sein...
> Bis denne Jessica.
>
> (Das habe ich selber abgetippt. Mein Haussklave hat heute einen "bezahlten" Urlaubstag! )
Wieso bezahlter Urlaubstag? Sklaverei ist auch nicht mehr das, was sie einmal war.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 So 06.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Lieber marc,
das [mm] B\neq0\ \Rightarrow\ [/mm] Es gibt ein[mm]A\in K^{nxn}[/mm] , so dass [mm]\Phi(A,B)\ne 0[/mm] gilt, ist mir klar und auch eigentlich trivial. Nur ich stehe da auf dem Schlauch. ICh weiß nicht wie ich das aufschreiben soll. Wahrscheinlich bin ich vom eintippen so überfordert Könntest du mir da noch weiter helfen?
Bis denne Jessica
(Christa: Stimmt ja gar nicht! Ich tipp wieder. Von wegen ein GANZER freier Tag...)
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Wofür sind denn Haussklaven da? 