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| Aufgabe | Für [mm] n\in \IN [/mm] mit Null zeigen:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}=2^n [/mm] |
Hab mir gedacht, dass das mittels Induktion geht aber ich komm dann nicht weiter, und ich hab auch das Gefühl, dass es irgendeinen clevereren Weg gibt.
Mein Gedanke: [mm] 2^{n+1}=2^n*2=2^n+2^n [/mm] und dann jeweils wieder die Summen eingesetzt, aber dann??
Vielen Dank im Voraus...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo erichlebt,
> Für [mm]n\in \IN[/mm] mit Null zeigen:
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> [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}=2^n[/mm]
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> Hab mir gedacht, dass das mittels Induktion geht aber ich
> komm dann nicht weiter, und ich hab auch das Gefühl, dass
> es irgendeinen clevereren Weg gibt.
Ja, den gibt es, Induktion ist sicher ne gute Möglichkeit, aber sehr elegant und blitzschnell geht's mit dem binomischen Lehrsatz: [mm] $(a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^{n} [/mm] .....$
Wende diesen Satz auf [mm] $2^n=(1+1)^n$ [/mm] an und du hast es direkt dastehen 
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> Mein Gedanke: [mm]2^{n+1}=2^n*2=2^n+2^n[/mm] und dann jeweils wieder
> die Summen eingesetzt, aber dann??
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> Vielen Dank im Voraus...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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Hi,
vielen Dank für den schnellen und guten Tipp ;), aber nur um sicher zu gehen:
[mm] 2^n=(1+1)^n=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}*1^{n-i}*1^{i}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}
[/mm]
So? Ist das echt so billig? Wie peinlich :rolleyes: .
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Hallo nochmal,
> Hi,
> vielen Dank für den schnellen und guten Tipp ;), aber nur
> um sicher zu gehen:
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> [mm]2^n=(1+1)^n=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}*1^{n-i}*1^{i}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> So? Ist das echt so billig? Wie peinlich :rolleyes: .
Ja, so billig, wenn man den binom. Lehrsatz benutzen darf
LG
schachuzipus
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