Binomialkoeffizient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Mo 19.10.2009 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n und k gilt:
[mm] \vektor{n\\0}+\vektor{n+1\\1}+...+\vektor{n+k\\k}=\vektor{n+k+1\\k} [/mm] |
Hi :)
Hänge an der Aufgabe. Habe bisher quasi noch nicht mit Binomialkoeffizienten gerechnet, weiß daher nicht, ob und wie ich die Umformungsregeln benutzen kann.
Also mein Ansatz war, die Summe mal echt als Summe auszudrücken und dann vollst. Induktion zu verwenden.
Frage: Ist vollst. Induktion überhaupt das richtige Mittel, oder muss ich "nur" die Rechenregeln anwenden?
Meine Summe sieht so aus:
[mm] \summe_{i=0}^{k}\vektor{n+i\\i}=\vektor{n+k+1\\k} [/mm]
kann man das so stehen lassen?
Induktion:
n=1: [mm] \summe_{i=0}^{k}\vektor{1+i\\i}=\vektor{1\\0}+\vektor{2\\1}+...=\vektor{k+2\\k}
[/mm]
Ist damit irgendwas anzufangen? Kann ich [mm] \vektor{k+2\\k} [/mm] vereinfach, bzw sind die Terme überhaupt gleich?
für n=n+1 hab ichs dann garnicht gemacht, weil ich noch nichtmal weiß, obs für n=1 gilt..
Ist mein Ansatz falsch?
Danke für jeden Tip im Voraus :)
kappen
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Hallo kappen!
> Meine Summe sieht so aus:
> [mm]\summe_{i=0}^{k}\vektor{n+i\\i}=\vektor{n+k+1\\k}[/mm]
> kann man das so stehen lassen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Induktion:
> n=1:
> [mm]\summe_{i=0}^{k}\vektor{1+i\\i}=\vektor{1\\0}+\vektor{2\\1}+...=\vektor{k+2\\k}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Deine Induktionsvariable ist hier $k_$ (und nicht $n_$ ).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mo 19.10.2009 | | Autor: | kappen |
LoL :[
ja, damit bin ich fertig fürchte ich:
k=1 -> n+2=n+2
k=k+1 -> [mm] \vektor{n+k+1\\k}+\vektor{n+k+1\\k+1}=\vektor{n+k+2\\k+1}
[/mm]
Die Regel ist korrekt angewendet, oder?
Kann ich den kompletten Ausdruck oben in dem BinKoeff als n und unten als k auffassen und dann bei der Addition einfach +1 addieren?
Hm könnt unverständlich sein: kann ich in meinem Beispiel (und im Allgemeinen auch?) n+1+k mit n substituieren und fertig ist?
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Hallo,
> LoL :[
>
> ja, damit bin ich fertig fürchte ich:
>
> k=1 -> n+2=n+2
stimmt
> k=k+1 ->
> [mm]\vektor{n+k+1\\k}+\vektor{n+k+1\\k+1}=\vektor{n+k+2\\k+1}[/mm]
>
> Die Regel ist korrekt angewendet, oder?
Da fehlen natürlich einige Zwischenschritte bis du dahin kommst
> Kann ich den kompletten Ausdruck oben in dem BinKoeff als
> n und unten als k auffassen und dann bei der Addition
> einfach +1 addieren?
>
> Hm könnt unverständlich sein: kann ich in meinem Beispiel
> (und im Allgemeinen auch?) n+1+k mit n substituieren und
> fertig ist?
Also an deiner Stelle würd ich am besten [mm] \vektor{n+k+1 \\ k}+ \vektor{n+k+1 \\ k+1} [/mm] als Brüche schreiben:
[mm] \bruch{(n+k+1)!}{(n+1)!*k!} +\bruch{(n+k+1)!}{n!*(k+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+k+1)!*(k+1)}{(n+1)!*(k+1)!}+\bruch{(n+k+1)!*(n+1)}{(n+1)!*(k+1)!}=\bruch{(n+k+1)!*((n+1)+(k+1))}{(n+1)!*(k+1)!}= \bruch{(n+k+2)!}{(n+1)!*(k+1)!} [/mm] = [mm] \vektor{n+k+2 \\ k+1} \Box
[/mm]
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Mo 19.10.2009 | | Autor: | kappen |
Danke dir.
Klar, zwischenschritte fehlen.
Wenn in das so aufschreibe wie du ist es doch quasi das selbe, denn die regel [mm] \vektor{n\\k} [/mm] + [mm] \vektor{n\\n+1}=\vektor{n+1\\k+1} [/mm] wird ja quasi dadurch hergeleitet oder?
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