Binomialkoeffizienten < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Fr 20.11.2015 | | Autor: | Manu271 |
| Aufgabe | a) Seien m, n, p, k ∈ [mm] \IN [/mm] , k + n ≤ p. Zeigen Sie durch vollständige Induktion über
m:
[mm] \summe_{i=-k}^{min{m-k,n}} \{m \choose k+1} \{p \choose n+i} [/mm] = [mm] \{m+p \choose k+n} [/mm] |
Hallo,
vorab: Die Vorschau für die Aufgabe spinnt bei mir, deshalb bin ich mir nicht sicher ob alles richtig dargestellt wird.
Falls nicht, ist hier noch ein Link zu der Aufgabe: http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=44f878-1448041146.png
Nun zur Aufgabe an sich:
Eigentlich bin ich in Induktionsbeweisen bisher ganz fit, jedoch bereitet mir hier der Bereich der Laufvariable i etwas Kopfzerbrechen, nämlich bis [mm] \min{m-k,n}. [/mm]
Der Induktionsanfang ist noch recht simpel, da ja für m=0 das Minimum aus (-k,n) offensichtlich -k ist, da ja k und n aus den natürlichen Zahlen sind.
Aber wie sieht das im Induktionsschritt aus?
Bisher habe ich dann einfach angenommen, dass m-k das Minimum bleibt. Leider komme ich dann beim Umformen der Terme irgendwann nicht mehr weiter.
Ich freue mich auf Tipps
LG,
Manu271
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Hallo Manu,
erst einmal die richtige Darstellung:
[mm] \sum_{i=-k}^{\min(m-k,n)}\binom{m}{k+i}\binom{p}{n-i}=\binom{m+p}{k+n}
[/mm]
Ich würde übrigens bei dem Induktionsbeweis mit m=1 beginnnen. Zum einen: Wer weiß, ob Null wirklich im Zahlbereich [mm] \IN [/mm] liegt (also im Sinne des Autors der Aufgabe). Zum andern: ich glaube bei m=0 sieht man einfach nix bei der Aufgabe.
Ich habe es jetzt nicht direkt probiert und schon gar nicht rumgerechnet, aber allgemein ein paar Hinweise, was du versuchen könntest:
1. Indexverschiebung bei der Summe. Forme so um, dass die Laufvariable bei $i=0$ beginnt. Dann könntest du eventuell später auf bekannte Summen, zurückgreifen (siehe Formelsammlung oder Wikipedia).
2. Bzgl. des Minimums: Ich würde eine Fallunterscheidung vornehmen. Im Prinzip hättest du drei Fälle:
a) m-k<n
b) m-k=n
c) m-k>n
Vermutlich bringt es den Vorteil, dass dann ein Binomialkoeffizient einfacher darstellbar ist, also dieser eventuell 1 wird.
Dies waren erst einmal meine Hinweise. Vielleicht nützt es dir etwas.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Sa 21.11.2015 | | Autor: | Manu271 |
Vielen Dank für deine Tipps, ich setze mich am Sonntag oder heute Abend hin und versuche es :)
LG
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