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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Mi 27.02.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für n [mm] \ge [/mm] 2 gilt:
a) 1- [mm] \vektor{n\\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{n\\ 2} [/mm] + ... + [mm] (-1)^n*\vektor{n \\ n} [/mm] = 0
b) [mm] \vektor{n\\ 1} [/mm] + [mm] 2\vektor{n\\ 2} [/mm] + [mm] 3\vektor{n\\ 3} [/mm] + ... + [mm] n\vektor{n\\n} [/mm] = [mm] n2^{n-1} [/mm] |
Bei Aufgabe a) habe ich zuersten den Fall für n = ungerade betrachtet. Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks habe ich die Behauptung dann ganz einfach zeigen können. Aber beim Fall für n = gerade sehe ich nicht weiter. Soll man dies auch mit dem Pascalschen Dreieck zeigen? Oder wie genau?
Bei Aufgabe b) muss man doch irgendwie mit der Ableitung von [mm] (1+x)^n [/mm] arbeiten...! Doch wie geht man da am Besten vor?
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> Zeigen Sie, dass für n [mm]\ge[/mm] 2 gilt:
> a) 1- [mm]\vektor{n\\ 1}[/mm] + [mm]\vektor{n\\ 2}[/mm] + ... +
> [mm](-1)^n*\vektor{n \\ n}[/mm] = 0
Hallo,
ich nehme an, daß der binomische Lehrsatz [mm] (x+y)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^ky^{n-k}
[/mm]
bekannt ist.
Für x:=-1 und y=1 bekommst Du sofort die Behauptung.
> b) [mm]\vektor{n\\ 1}[/mm] + [mm]2\vektor{n\\ 2}[/mm] + [mm]3\vektor{n\\ 3}[/mm] +
> ... + [mm]n\vektor{n\\n}[/mm] = [mm]n2^{n-1}[/mm]
> Bei Aufgabe b) muss man doch irgendwie mit der Ableitung
> von [mm](1+x)^n[/mm] arbeiten...!
Ja, das kannst Du tun.
Sei [mm] f_n(x):=(x+1)^n [/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k [/mm] (binomischer Satz)
Jetzt ableiten, und dann die Ableitung an der Stelle x=1 betrachten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Mi 27.02.2008 | | Autor: | johnny11 |
yep, alles klar.
Vielen Dank.
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