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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Sa 20.11.2010 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Wir definieren für $n,k [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit $k [mm] \le [/mm] n$ den Binomialkoeffizienten [mm] $\vektor{n\\k}$ [/mm] wie folgt:
[mm] $\vektor{n\\k}:= \bruch{n!}{k!(n-k)}!
[/mm]
Zeigen sie:
(a) Für alle $n,k [mm] \in \IN$ [/mm] mit $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ gilt:
[mm] $\vektor {n\\k-1}+\vektor{n\\k}=\vektor{n+1\\k} [/mm] |
Ich habe erstmal die Frage ob mein Ansatz richtig ist, wenn ich erst zeige, dass die Gleichung für $k=n$ stimmt, dann zeige, dass sie auch für $k=n-1$ gilt.
Wenn ich jetzt zeige, dass sie für $n$ und für $n+1$ gilt dann hätte ich doch damit auch gezeigt, dass sie für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, oder?
lg nhard
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Hallo,
setze doch einfach die Definition des Binominalkoeffizienten ein.
[mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} [/mm] und das selbe für [mm] \vektor{n \\k}. [/mm] Dann zusammen rechnen und auf [mm] \vektor{n+1 \\k} [/mm] kommen.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 20.11.2010 | | Autor: | nhard |
aber habe ich denn dann gezeigt, dass die Gleichung für alle $n,k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt?
Dachte, dass müsste ich per Induktion machen?
vielen Dank für deine schnelle Antwort :)!
nhard
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Hallo,
wenn Du Tyskies Weg bis zum Ende gehen kannst, hast Du natürlich auch die Behauptung gezeigt.
Induktion wäre auch möglich, spart aber keinen Aufwand, eher im Gegenteil. Außerdem ist der Weg, den Du skizzierst, noch etwas kraus. Induktion von n nach n-1 kann ja nur eine endliche Zahl von Binomialkoeffizienten betreffen... Man fängt die Induktion doch normalerweise bei 1 an (oder der nächstgrößeren geeigneten Zahl) und schließt dann von n auf n+1.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 20.11.2010 | | Autor: | nhard |
hm, naja ich dachte ich muss zeigen, dass die Gleichung nicht nur für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt sondern auch für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Und weil ja gelten soll $k [mm] \le [/mm] n$ gilt doch für [mm] $\(k$ [/mm] entweder $k=n$ oder, wenn $k$ kleiner als $n$ ist: $k=n-1$.
Dachte wenn ich erstmal zeige, dass in beiden Fällen die Gleichung stimmt, dass ich dann erst mit der eigentlichen Induktion beginne, so wie du sie beschrieben hast.
Und wenn ich dann gezeigt habe, dass die Gleichung für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n>0$ stimmt, kann ich das doch dann auch für $k$ sagen.
Hoffe ich habe mich jetzt nicht einfach nur wiederholt :D
Aber wenn der weg von tyskies auch geht probiere ich mich doch erstmal an dem ;).
lg
nhard
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Ich schreibe jetzt einfach mal meine Lösung nach tyskies Vorschlag hin, falls jemand das gleiche Problem haben sollte:
Also:
Wenn ich die für linke Seite der Gleichung die Definition des BiKo einsetze erhalte ich:
[mm] $\bruch{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+ \bruch{n!}{k!(n-k)!}$
[/mm]
Weil ja $(k-1)! = [mm] \bruch{k!}{k} [/mm] $ ist, erhalte ich links vom Additionszeichen:
[mm] $\bruch{n!}{k!(n-k+1)!}*k$ [/mm] .
Und weil [mm] $\((n-k+1)!=(n-k)!*(n-k+1)$ [/mm] ist erhalte ich rechts vom Additionszeichen:
[mm] $\bruch{n!}{k!(n-k+1)!}*(n-k+1)$.
[/mm]
Ich habe jetzt ingesamt:
[mm] $\bruch{n!}{(k)!(n-k+1)!}*k+ \bruch{n!}{k!(n-k+1)!}*(n-k+1)$
[/mm]
Jetzt habe ich auf beiden Seiten den gleichen Bruch stehen und kann ausklammern.
Ich erhalte:
[mm] $\bruch [/mm] {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}*(k+n-k+1)$
Aus [mm] $\((k+n-k+)=(n+1)$ [/mm] und [mm] $\(n!*(n+1)=(n+1)!$ [/mm] ergibt sich:
[mm] $\bruch{n+1)!}{(k-1)!(n-k+1)!}$
[/mm]
Damit hätte man die Aufgabe (a) gelöst.
Hoffe, da sind jetzt keine Fehler drin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Sa 20.11.2010 | | Autor: | ullim |
HI,
die Lösung ist korrekt.
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