Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:31 Mo 11.10.2004 | | Autor: | patrick |
Für ein Modell zum Arbeitsmarkt brauche ich einen geschlossenen Ausdruck für einen Erwartungswert:
Es sei X eine Bin(n,p) verteilte ZV. Ich interessiere mich für einen Ausdruck des Erwartungswertes von 1/(1+aX), a>0 eine reelle Zahl.
Es wäre nett, wenn mir jemand von Euch dabei helfen könnte, da ich dabei seit Wochen nicht weiter komme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 08:28 Di 12.10.2004 | | Autor: | feynman |
Ausgangslage:Erwartungswert einer Binomialverteilung ist n*p, X ist binomailverteilt. X wird durch 1/(1+a*X) transformiert.
Ich würde jetzt sagen, dass der Erwartungswert diese Transformation auch mitmacht. Also Erwartungswert=1/(1+a*n*P). Aber, dass ist nur eine Vermutung eines Informatikers, vielleicht schaut ja noch einmal ein Mathematiker drauf.
Gruß Marcus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:31 Di 12.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo feynman!
Nein, so einfach ist es leider nicht. 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hi Patrick!
Einen geschlossenen Ausdruck habe ich zwar nicht, da mir die Formeln für die höheren Momente der Binomialverteilung nicht bekannt sind, aber ich kann dir ja mal meine Rechnung bis dahin darstellen.
Für $0 < a < [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] gilt:
$E [mm] \left[ \frac{1}{1+aX} \right]$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{1+ak} \cdot [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \, p^k \, (1-p)^{n-k}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{m=0}^{\infty} (-1)^m \cdot a^m \cdot k^m \cdot [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \, p^k \, (1-p)^{n-k}$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{m=0}^{\infty} (-1)^m \cdot a^m \cdot \sum\limits_{k=0}^n k^m \, [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \, p^k \, (1-p)^{n-k}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{m=0}^{\infty} (-1)^m \cdot a^m \cdot E\left[X^m\right]$.
[/mm]
Jetzt ist meine Hoffnung, dass das $m$-te Moment von $X$ eine $m$-te Potenz (oder ähnliches) und man dann wieder über die geometrische Reihe eine geschlossene Formel erhält.
Vielleicht klappt es aber auch nicht, ist nur so ein Gedanke.
Die höheren Momente der Binomialverteilung kann man über die erzeugende Funktion bestimmen, die eine recht einfache Gestalt hat:
[mm] $G(t):=E\left[t^X\right] [/mm] = [(1-p) + [mm] pt]^n$ [/mm]
Du kannst mir ja sagen, wenn du es damit rausbekommen hast. 
Mach's gut!
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Brigitte |
Hallo ihr beiden!
Also im Johnson/Kotz konnte ich nur das hier finden:
[mm]E(X^k)=\sum\limits_{j=1}^k {n \choose j} p^j \Delta^j0^k,[/mm]
wobei die Bezeichnung
[mm]\Delta^j0^k =\sum\limits_{i=1}^j (-1)^i(j-i)^k[/mm]
verwendet wird.
Sieht leider nicht nach einem Ausdruck mit der $k$-ten Potenz aus....
Im Johnson/Kotz stehen aber auch Formeln für inverse Momente der (positiven, d.h. für Ergebnisse [mm] $x=1,\ldots,n$ [/mm] definierte) Binomialverteilung. Vielleicht kann man darüber etwas ableiten.
Liebe Grüße
Brigitte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
> Doch, so etwas meinte ich, ist doch eine Summe [mm]k[/mm]-ter
> Potenzen. Danke.
Das schon, aber es sind ja nun mehrere Summen ineinander verschachtelt, so dass ich deshalb eher skeptisch war, ob das zu einem geschlossenen Ausdruck führt.
> Leider bin ich trotzdem nicht zu einer Lösung gekommen,
> trotz Summenvertauschung und Hin- und Herrechnen.
>
> > Im Johnson/Kotz stehen aber auch Formeln für inverse Momente der (positiven, d.h. für Ergebnisse [mm]x=1,\ldots,n[/mm] definierte) Binomialverteilung.
> Könntest du die bitte angeben? Danke.
Leider habe ich den Verweis Inverse moments of the positive binomial distribution are discussed in Section 10 überschätzt. Dort steht lediglich:
[Zitat]
The distribution formed by omission of the value 0 only, giving
[mm]P(X=k) = \frac{{N\choose k}p^kq^{N-k}}{1-q^N}\quad k=1,2,\ldots,N[/mm]
is sometimes called the positive binomial distribution. [...] The $r$th moment about zero of a random variable having the positive binomial distribution is equal to
[mm]\frac{r\mbox{th moment of random variable with binomial distribution} }{1-q^N}.[/mm]
[...] If $r$ is negative ($r=-2$, with $s>0$) it is not possible to give a short expression for [mm] $E(X^{-s})$. [/mm] Grab and Savage note the approximation formula
[mm]E(X^{-1})\approx (Np-q)^{-1}[/mm]
which has two significant figure accuracy for $Np>10$. Mendenhall and Lehmann obtain approximate formulas by first approximating the positive binomial distribution by a (continuous) beta distribution making the first and second moments agree.
[...]
[Zitatende]
Tut mir leid, dass ich da wohl zu viel Hoffnung gemacht habe. Ob man Johnson/Kotz mal nach "long expressions for [mm] $E(X^{-s})$" [/mm] fragen sollte, wenn es schon keine kurzen gibt...
Schreib doch vielleicht trotzdem mal auf, was Du weiter umgeformt hast, vielleicht hat ja dann jemand noch eine Idee.
Liebe Grüße
Brigitte
P.S.: Übrigens habe ich bei der Fragestellung feststellen müssen, dass mein hochgelobtes Lexikon der Stochastik (Müller) bei den Momenten der Binomialverteilung einen dicken Fehler hat :-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
> Meine Rechnungen zu posten bringt auch nichts, denn sie
> führen alle in die Sackgasse.
Schade.
> Ich gehe mal davon aus, dass du auch nicht weitergekommen
> bist, oder hast du einen vielversprechenden Ansatz?
Nein. Ich habe aber wohl auch nicht annähernd so lange darüber nachgedacht wie Du Es erscheint mir auch eher aussichtslos. Ich wollte nur helfen, was die Momente angeht, weil ich eine Idee hatte, wo das steht.
Liebe Grüße
Brigitte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Philipp |
Danke, dass Ihr mir mit der Frage weitergeholfen habt. Ich habe mit Patrick an dem Problem rumprobiert, da es die Wahrscheinlichkeit, einen Job in einem Arbeitsmarkt mit diskriminierung zu bekommen, beschreiben sollte. Ich wäre schon gar nicht auf die von Euch vorgeschlagenen Umformungen gekommen. Jetzt muss ich mir überlegen, ob ich eine andere Möglichkeit finde, dass Problem zu modellieren.
Vielen Dank für Eure Mühe. Liebe Grüße,
Philipp
|
|
|
|
![[flatto-leiderned]](/images/smileys/flatto-leiderned.gif "[flatto-leiderned]"){kind=small}
