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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Do 10.04.2008 | | Autor: | vju |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Für alle n [mm] \ge [/mm] 2, n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k k\vektor{n \\ k} [/mm] = 0 |
Hallo Leute,
Ich sitze jetzt seit Stunden an dieser Aufgabe und weiß einfach nicht, was ich eigentlich machen muss. Ich habe probeweise n = 1, 2, 3, 4, 5 eingesetzt und es kommt auch immer 0 heraus. Ich habe die ergebnisse dann mit dem Pascalschen Dreieck abgeglichen und auch gemerkt, dass wenn ich z.B: n = 3 einsetze.
Dann ist das die Summe aus 3 * (-1 +2 -1), also 3* der dritten Reihe des Pascalschen Dreiecks.
n = 4 eingesetzt ergibt 4 * (-1 +3 -3 +1), also 4* die vierte Reihe des pascalschen Dreiecks.
Allgemein also n * die Summen der Reihe des Pascalschen Dreiecks bei abwechselndem Vorzeichen.
Aber ich weiß einfach nicht, wie ich sowas beweisen könnte. Wäre für jeden Tipp dankbar.
Grüße
~Vju
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Do 10.04.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Vju,
> Ich sitze jetzt seit Stunden an dieser Aufgabe und weiß
> einfach nicht, was ich eigentlich machen muss. Ich habe
> probeweise n = 1, 2, 3, 4, 5 eingesetzt und es kommt auch
> immer 0 heraus. Ich habe die ergebnisse dann mit dem
> Pascalschen Dreieck abgeglichen und auch gemerkt, dass wenn
> ich z.B: n = 3 einsetze.
> Dann ist das die Summe aus 3 * (-1 +2 -1), also 3* der
> dritten Reihe des Pascalschen Dreiecks.
>
> n = 4 eingesetzt ergibt 4 * (-1 +3 -3 +1), also 4* die
> vierte Reihe des pascalschen Dreiecks.
Achtung, es ist eine andere Summe gefragt! Für $n=3$ ergibt sich nämlich
$-1*3 + 2*3 - 3*1 = 0$
Und für $n=4$:
$-1*4 + 2*6 - 3 * 4 + 4* 1 = 0$
Um die Summe zu berechnen, verwendest du wohl am besten die Gleichheit
$k * [mm] \binom{n}{k} [/mm] = n * [mm] \binom{n-1}{k-1}$,
[/mm]
und die neue Summe kennst du hoffentlich bereits :)
Viele Grüsse,
anstei
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 10.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie:
> Für alle n [mm]\ge[/mm] 2, n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k k\vektor{n \\ k}[/mm]
> = 0
Tipp:
$k {n [mm] \choose k}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=n*\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}=n*{n-1 \choose k-1}$
[/mm]
Anleitung:
Einsetzen, $n$ vor die Summe ziehen. Die [mm] $\sum_{k=1}^n...$ [/mm] zerlegen in [mm] $\sum_{k=1}^{n-1}...+$ [/mm] letzter Summand von [mm] $\sum_{k=1}^n...)$ [/mm]
Und dann einen Vergleich mit [mm] $(1+(-1))^{n-1}$ ($\leftarrow$ entwickle dies nach der bin. Formel) machen.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Do 10.04.2008 | | Autor: | vju |
Vielen Dank für die Antworten.
Kann man die Aufgabe mit der Induktion beweisen oder liege ich da gerade total falsch?
Grüße
~Vju
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Do 10.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Vju,
da man den bin. Lehrsatz mit Induktion beweist und der hier Anwendung findet, kann man sicherlich auch diese Aufgabe ggf. über einen Umweg induktiv beweisen. Aber so meintest Du das sicherlich nicht 
Ich denke aber, dass hier auch die Induktion direkt klappt. Beim Induktionsschritt gelangst Du dann zu
[mm] $\sum_{k=1}^{n+1}{n+1 \choose k} k*(-1)^k=\left(\sum_{k=1}^{n}{n+1 \choose k} k*(-1)^k \right)+ [/mm] {n+1 [mm] \choose [/mm] n+1} [mm] (-1)^{n+1}$
[/mm]
Aber hier brauchst Du auch einen Trick, den Du hoffentlich kennst:
${n+1 [mm] \choose [/mm] k}={n [mm] \choose [/mm] k}+{n [mm] \choose [/mm] k-1}$
Dann kommt die Induktionsvoraussetzung ins Spiel, ein Indexshift usw.
Das ganze sieht vom Ablauf wohl ziemlich gleich aus wie der Beweis der allg. bin. Formel
[mm] $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}a^k b^{n-k}$
[/mm]
(Sofern man dies induktiv, und nicht, wie es auch möglich wäre, kombinatorisch beweist.)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Do 10.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie:
> Für alle n [mm]\ge[/mm] 2, n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k k\vektor{n \\ k}[/mm]
> = 0
> Hallo Leute,
> Ich sitze jetzt seit Stunden an dieser Aufgabe und weiß
> einfach nicht, was ich eigentlich machen muss. Ich habe
> probeweise n = 1, 2, 3, 4, 5 eingesetzt und es kommt auch
> immer 0 heraus. Ich habe die ergebnisse dann mit dem
> Pascalschen Dreieck abgeglichen und auch gemerkt, dass wenn
> ich z.B: n = 3 einsetze.
> Dann ist das die Summe aus 3 * (-1 +2 -1), also 3* der
> dritten Reihe des Pascalschen Dreiecks.
>
> n = 4 eingesetzt ergibt 4 * (-1 +3 -3 +1), also 4* die
> vierte Reihe des pascalschen Dreiecks.
>
> Allgemein also n * die Summen der Reihe des Pascalschen
> Dreiecks bei abwechselndem Vorzeichen.
>
> Aber ich weiß einfach nicht, wie ich sowas beweisen könnte.
> Wäre für jeden Tipp dankbar.
>
> Grüße
>
> ~Vju
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Hallo,
es gilt doch [mm] \vektor{n \\ k}=\vektor{n \\ n-k}.
[/mm]
Für ungerade n heben sich genau diese Summanden durch den Vorzeichenwechsel gegenseitig auf.
Für gerade n kannst du die Tatsache nutzen, dass sich die Binomialkoeffizienten jeweils aus der Summe der Koeffizienten in den Zeile darüber (Pascalsches Dreieck) ergeben (und in der Zeile darüber heben sie sich auf).
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Fr 11.04.2008 | | Autor: | vju |
Also so weit bin ich jetzt gekommen:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-1)^k k\vektor{n \\ k}
[/mm]
=> [mm] \summe_{k=1}^{n}(-1)^k n\vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
=> n [mm] \summe_{k=1}^{n}(-1)^k \vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
=> n [mm] (\summe_{k=1}^{n-1}(-1)^k \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] + [mm] (-1)^{n} \vektor{n-1 \\ n-1})
[/mm]
Dann habe ich versucht das ein bischen auszuschreiben:
n [mm] ((-1)^1 \vektor{n-1 \\ 1} [/mm] + [mm] (-1)^2 \vektor{n-1 \\ 2}+...+(-1)^{n-3}\vektor{n-1 \\ n-3} [/mm] + [mm] (-1)^{n-2}\vektor{n-1 \\ n-2} [/mm] + [mm] (-1)^{n-1} \vektor{n-1 \\ n-1} [/mm] + [mm] (-1)^{n} \vektor{n-1 \\ n-1}) [/mm]
Das ist dann ja so, dass sich die letzten beiden Summanden auf jeden Fall aufheben müssen. Bei einem ist n gerade, bei dem anderen ist n ungerade. Also ist auf jeden Fall ein Wert -1 und der andere +1.
Also kann ich hier doch schreiben:
n [mm] ((-1)^1 \vektor{n-1 \\ 1} [/mm] + [mm] (-1)^2 \vektor{n-1 \\ 2}+...+(-1)^{n-3}\vektor{n-1 \\ n-3} [/mm] + [mm] (-1)^{n-2}\vektor{n-1 \\ n-2})
[/mm]
Aber auch hier hebt sich jeder Summand durch die Symmetrische Eigenschaft der Binomischen Formel auf. Der erste Wert mit dem letzten, der zweite Wert mit dem vorletzen usw.
Aber wie kann ich das jetzt beweisen? Bräuchte dringend wieder ein paar Tipps.
Mit Induktion habe ich es auch versucht, hänge da aber leider auch fest...
Grüße
~ Vju
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Hallo vju,
> Also so weit bin ich jetzt gekommen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(-1)^k k\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> => [mm]\summe_{k=1}^{n}(-1)^k n\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> => n
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(-1)^k \vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> => n
> [mm](\summe_{k=1}^{n-1}(-1)^k \vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] + [mm](-1)^{n} \vektor{n-1 \\ n-1})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann habe ich versucht das ein bischen auszuschreiben:
> n [mm]((-1)^1 \vektor{n-1 \\ 1}[/mm] + [mm](-1)^2 \vektor{n-1 \\ 2}+...+(-1)^{n-3}\vektor{n-1 \\ n-3}[/mm]
> + [mm](-1)^{n-2}\vektor{n-1 \\ n-2}[/mm] + [mm](-1)^{n-1} \vektor{n-1 \\ n-1}[/mm]
> + [mm](-1)^{n} \vektor{n-1 \\ n-1})[/mm]
>
> Das ist dann ja so, dass sich die letzten beiden Summanden
> auf jeden Fall aufheben müssen. Bei einem ist n gerade, bei
> dem anderen ist n ungerade. Also ist auf jeden Fall ein
> Wert -1 und der andere +1.
>
> Also kann ich hier doch schreiben:
> n [mm]((-1)^1 \vektor{n-1 \\ 1}[/mm] + [mm](-1)^2 \vektor{n-1 \\ 2}+...+(-1)^{n-3}\vektor{n-1 \\ n-3}[/mm]
> + [mm](-1)^{n-2}\vektor{n-1 \\ n-2})[/mm]
[mm]n ((-1)^1 \vektor{n-1 \\ 1} + (-1)^2 \vektor{n-1 \\ 2}+...+(-1)^{n-3}\vektor{n-1 \\ n-3}
+ (-1)^{n-2}\vektor{n-1 \\ n-2}+\blue{(-1)^{n-1}\vektor{n-1 \\ n-1}})[/mm]
>
> Aber auch hier hebt sich jeder Summand durch die
> Symmetrische Eigenschaft der Binomischen Formel auf. Der
> erste Wert mit dem letzten, der zweite Wert mit deem
> vorletzen usw.
>
> Aber wie kann ich das jetzt beweisen? Bräuchte dringend
> wieder ein paar Tipps.
Teile den so erhaltenen Ausdruck in positive und negative Summanden auf.
>
> Mit Induktion habe ich es auch versucht, hänge da aber
> leider auch fest...
>
> Grüße
>
> ~ Vju
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Fr 11.04.2008 | | Autor: | vju |
Hallo,
Ich schaffe die Aufgabe hier einfach nicht...
Bisher hatte ich ja mit den Tipps die Aufgabe soweit umgeformt:
n [mm] (\summe_{k=1}^{n-1}(-1)^k \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] + [mm] (-1)^{n} \vektor{n-1 \\ n-1})
[/mm]
Jetzt habe ich mir gedacht für gerade n wäre es so:
n [mm] ((-1)^1 \vektor{n-1 \\ 0} [/mm] + [mm] (-1)^2 \vektor{n-1 \\ 1} [/mm] + [mm] (-1)^3 \vektor{n-1 \\ 2} [/mm] + ... + [mm] (-1)^{n-2}\vektor{n-1 \\ n-3} [/mm] + [mm] (-1)^{n-1} \vektor{n-1 \\ n-2} [/mm] + [mm] (-1)^{n} \vektor{n-1 \\ n-1}) [/mm]
Dann kann ich die Summanden wie folgt umstellen:
n [mm] ([red](-1)^1 \vektor{n-1 \\ 0} [/mm] + [mm] (-1)^{n} \vektor{n-1 \\ n-1})[/red]+ [green](-1)^2 \vektor{n-1 \\ 1} [/mm] + [mm] (-1)^{n-1} \vektor{n-1 \\ n-2}[/green] [/mm] + [mm] [blue](-1)^3 \vektor{n-1 \\ 2} [/mm] + [mm] (-1)^{n-2}\vektor{n-1 \\ n-3}[/blue])
[/mm]
Die Summanden heben sich alle auf und in der Klammer kommt 0 raus. Habe ich das jetzt zumindest für gerade n bewiesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:28 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe Deine Rechnung, ehrlich gesagt, nicht verfolgt. Irgendwas machst Du zu umständlich.
Mit dem ersten Tipp (die Anleitung musste ich korrigieren, das stimmte so nicht ganz) (an einer Stelle mache ich einen Indexshift bzw. man könnte auch sagen "Substitution" mit $m=k-1$):
[mm] $\sum_{k=1}^n (-1)^k [/mm] *k*{n [mm] \choose k}=n*\sum_{k=1}^n (-1)^k [/mm] {n-1 [mm] \choose k-1}=n*\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{m+1} [/mm] {n-1 [mm] \choose m}=(-1)*n*\blue{\sum_{m=0}^{n-1} {n-1 \choose m}1^{(n-1)-m}*(-1)^m}$
[/mm]
Nun entwickle mal [mm] $0=0^{n-1}=\blue{(1+(-1))^{n-1}}$ [/mm] mittels der bin. Formel
[mm] $(r+s)^p=\sum_{m=0}^p [/mm] {p [mm] \choose [/mm] m} [mm] r^{p-m}*s^m$
[/mm]
(also mit $r=1$, $s=-1$ und $p=n-1$).
Und beachte: Wegen [mm] $0^0=1$ [/mm] ist zwar [mm] $0^{n-1}=1$ [/mm] für $n=1$, aber in der Aufgabe steht ja $n [mm] \ge [/mm] 2$...
Dann bist Du fertig!
Wenn Du willst, kannst Du ja jetzt mal versuchen, anstelle dieses Beweises selbst den Induktionsbeweis zu führen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Sa 12.04.2008 | | Autor: | vju |
Hallo,
Vielen Dank für die Hilfe. Irgendwie schaffe ich es nicht so recht, deinen Beweis nachzuvollziehen. Da geht mir leider vieles noch zu schnell...
Wie kommst du den z.B. von:
2.) [mm] n\cdot{}\sum_{k=1}^n (-1)^k \vektor{n - 1 \\ k - 1}
[/mm]
m = k - 1
auf 3.) [mm] n\cdot{}\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{m+1} \vektor{n - 1 \\ m}
[/mm]
Bei mir ist es 3.) [mm] n\cdot{}\sum_{m=0}^{n}(-1)^{m+1} \vektor{n - 1 \\ m}
[/mm]
Schritt 3.) [mm] n\cdot{}\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{m+1} \vektor{n - 1 \\ m}
[/mm]
zu 4.) [mm] (-1)\cdot{}n\cdot{} \blue{\sum_{m=0}^{n-1} {n-1 \choose m}1^{(n-1)-m}\cdot{}(-1)^m} [/mm] verstehe ich leider auch nicht so recht.
[mm] n\cdot{}\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{m+1} \vektor{n - 1 \\ m}
[/mm]
=> [mm] n\cdot{}\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{m} (-1)^1 \vektor{n - 1 \\ m} [/mm] wie komme ich denn auf dieses [mm] (1)^{(n-1) - m} [/mm] bei dir in deiner zeile?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Sa 12.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch mal die Reihe für [mm] (1+(-1))^n [/mm] auf, vielleicht merkst du dann, was dir alle sagen wollen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Sa 12.04.2008 | | Autor: | vju |
Hallo,
Das habe ich schon gemacht. Es kommt ja auch das hier
[mm] \blue{\sum_{m=0}^{n-1} {n-1 \choose m}1^{(n-1)-m}\cdot{}(-1)^m} [/mm] heraus.
Das ist 0 und (-1) * n * 0 = 0.
Aber ich muss es halt durch umformen erstmal in dieser Form kriegen. Das kapiere ich noch nicht wie das funktioniert.
Also von diesem Schritt hier:
[mm] n\cdot{}\sum_{k=1}^n (-1)^k \vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
zu diesem:
[mm] (-1)\cdot{}n\cdot{}\blue{\sum_{m=0}^{n-1} {n-1 \choose m}1^{(n-1)-m}\cdot{}(-1)^m}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
siehe hier:
https://matheraum.de/read?i=391616
Gruß,
Marcel
P.S.:
Vll. kann ja jemand hier die Frage auf "reagiert" stellen und diese Antwort hier als Mitteilung deklarieren?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> Vielen Dank für die Hilfe. Irgendwie schaffe ich es nicht
> so recht, deinen Beweis nachzuvollziehen. Da geht mir
> leider vieles noch zu schnell...
>
> Wie kommst du den z.B. von:
>
> 2.) $ [mm] n\cdot{}\sum_{k=1}^n (-1)^k \vektor{n - 1 \\ k - 1} [/mm] $
>
> m = k - 1
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> auf 3.) $ [mm] n\cdot{}\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{m+1} \vektor{n - 1 \\ m} [/mm] $
>
> Bei mir ist es 3.) $ [mm] n\cdot{}\sum_{m=0}^{\red{n}}(-1)^{m+1} \vektor{n - 1 \\ m} [/mm] $
Wenn Du $ k $ von $ 1 $ bis $ n $ laufen läßt, dann durchläuft doch $ [mm] m=m_k=k-1 [/mm] $ die Werte von $ [mm] m_1=0 [/mm] $ bis $ [mm] m_n=n-1 [/mm] $. Schreib' die Summe doch mal aus, bei Dir ist ein Summand zuviel!
Man kann es auch vielleicht besser sehen, wenn man den Laufindex auch bei der oberen Grenze ans Summenzeichen dazuschreibt (nennen wir die Summanden mal einfach $ [mm] a_k [/mm] $):
$ [mm] \sum_{k=1}^{k=n} a_k=\sum_{m=0}^{m=n-1}a_{m+1} [/mm] $
> Schritt 3.) $ [mm] n\cdot{}\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{m+1} \vektor{n - 1 \\ m} [/mm] $
>
> zu 4.) $ [mm] (-1)\cdot{}n\cdot{} \blue{\sum_{m=0}^{n-1} {n-1 \choose m}1^{(n-1)-m}\cdot{}(-1)^m} [/mm] $
> verstehe ich leider auch nicht so recht.
Da habe ich einfach nur die $ (-1) $ vorgeklammert und danach dann $ [mm] 1=1^{(n-1)-m} [/mm] $ (das gilt insbesondere für jedes $ m [mm] \in \{0,1,...,(n-1)\} [/mm] $) in die Summe reingeschmuggelt.
Also:
$ [mm] n\cdot{}\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{m+1} \vektor{n - 1 \\ m}=n\cdot{}\sum_{m=0}^{n-1}(-1)\cdot{}(-1)^{m} \vektor{n - 1 \\ m}=(-1)\cdot{}n\cdot{}\sum_{m=0}^{n-1}\vektor{n - 1 \\ m}(-1)^{m}=(-1)n\cdot{}\sum_{m=0}^{n-1}\vektor{n - 1 \\ m}\underbrace{1^{(n-1)-m}}_{=1}(-1)^{m} [/mm] $
P.S.:
Eine kleine Anmerkung:
Hier wäre Deine Gleichung
[mm] $\sum_{k=1}^n (-1)^k \vektor{n - 1 \\ k - 1}=\sum_{m=0}^{\red{n}}(-1)^{m+1} \vektor{n - 1 \\ m}$ [/mm] eigentlich sogar nicht falsch, weil ${n-1 [mm] \choose [/mm] n}=0$ gilt. Aber aus formalen Gründen solltest Du wirklich beachten, dass sich beim "Indexshift" i.a. obere und untere Summationsgrenze mitverändern (bei anderen "Umformungen" wird's sonst falsch!).
[mm] $a_1+...+a_n=\sum_{k=1}^{k=n} a_k=\sum_{k=1}^n a_k$, [/mm] aber auch:
[mm] $a_1+...+a_n=a_{\green{0}+1}+...+a_{\green{(n-1)}+1}=\green{\sum \limits_{m=0}^{m=n-1}} a_{m+1}=\sum_{m=0}^{n-1} a_{m+1}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 So 13.04.2008 | | Autor: | vju |
Ganz großes Dankeschön für die vielen Tipps und der super Erklärung.
Ich habe den Beweis jetzt endlich verstanden. Ich muss zugeben, dass ich den niemals geschafft hätte. Das war die erste Aufgabe dieser Art, die ich Lösen musste und viele Tricks die hier genutzt wurden, sehe ich zum ersten mal. Ich werde die Tage nochmal versuchen, den Beweis induktiv zuende zu führen. Da hoffe ich, dass ich das mit bischen Hilfe auch noch hinkriege...
Vielen Dank nochmal
Grüße
~ Vju
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Fr 11.04.2008 | | Autor: | statler |
> Beweisen Sie:
> Für alle n [mm]\ge[/mm] 2, n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k k\vektor{n \\ k}[/mm]
> = 0
Hi!
Mein Vorschlag: Man entwickelt [mm] (1-x)^{k} [/mm] nach der binomischen Formel, leitet beide Seiten nach x ab und setzt dann x = 1.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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