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Black-Scholes-Modell: Konvexität
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Sa 01.10.2011
Autor: Norbert15

Hi,

ich soll, im black-scholes-modell, zeigen ob c als funktion von K konvex ist.
Es ist ja:

    $ [mm] C(S,\tau)=SN(d_1)-Ke^{-r\tau}N(d_2) [/mm] $



mit

    $ [mm] d_1=\bruch{\ln(\bruch{S}{K})+(r+ \bruch{1}{2}\sigma^2)\tau}{\sigma \wurzel{\tau}} [/mm] $


und

    $ [mm] d_2= d_1-\sigma \wurzel{\tau} [/mm] $

ich müsste dann ja eigentlich die zweite ableitung von c berechnen und schauen ob die größer oder kleiner 0 ist.
leider bekomm ich die ableitungen nicht hin :(
ich hoffe mir kann jemand helfen


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Black-Scholes-Modell: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Sa 01.10.2011
Autor: ullim

Hi,

für N(x) schreibe ich mal [mm] \Phi(x) [/mm] und meine damit die Standardnormalverteilung.

Deine Funktion lautet also

[mm] C(S,\tau)=S*\Phi(d_1)-K*e^{-r\tau}*\Phi(d_2) [/mm]

Weiter gilt [mm] \bruch{\partial{}}{\partial{K}}d_2(K)=\bruch{\partial{}}{\partial{K}}d_1(K) [/mm] sowie

[mm] \bruch{\partial{}}{\partial{K}}\Phi(d)=\varphi(d)*\bruch{\partial{}}{\partial{K}}d(K) [/mm] mit [mm] \varphi(d)=\bruch{1}{2\pi}*e^{-\bruch{1}{2}d^2} [/mm]

außerdem kann man durch nachrechnen bestätigen das gilt

[mm] S*\varphi(d_1)=K*e^{-r\tau}*\varphi(d_2) [/mm]

Damit folgt

[mm] \bruch{\partial{}}{\partial{K}}C(K)=S*\varphi(d_1)*\bruch{\partial{}}{\partial{K}}d_1(K)-K*e^{-r\tau}*\varphi(d_2)*\bruch{\partial{}}{\partial{K}}d_2(K)-e^{-r\tau}*\Phi\left(d_2\right)=-e^{-r\tau}\Phi\left(d_2\right) [/mm]

daraus folgt

[mm] \bruch{\partial{}^2}{\partial{K^2}}C(K)=\bruch{e^{-r\tau}*\varphi\left(d_2\right)}{K*\sigma*\wurzel{\tau}}>0 [/mm] gilt.

Also ist [mm] C(S,\tau) [/mm] konvex


Bezug
                
Bezug
Black-Scholes-Modell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 Sa 01.10.2011
Autor: Norbert15

vielen dank :)

Bezug
                        
Bezug
Black-Scholes-Modell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 Sa 01.10.2011
Autor: ullim

Hi,

siehe auch []hier



Bezug
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