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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 So 01.01.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe |
Sei f [mm] \in [/mm] End V, sei [mm] \phi [/mm] = [mm] (\phi_{1}...\phi_{r}, \phi_{r+1} [/mm] bis [mm] \phi_{n}) [/mm] eine geordnete Basis von V. Sei A = M [mm] \phi(f) [/mm] Darstellungsmatrix = [mm] \pmat{ A1 & A2 \\ A3 & A4 } [/mm] in Blöcke zerlegt (A1 [mm] \in k^{rxr}, [/mm] A2 [mm] \in k^{rxs}, [/mm] A3 [mm] \in k^{sxr}, [/mm] A4 [mm] \in k^{sxs}.
[/mm]
Sei U = [mm] (\phi_{1} [/mm] bis [mm] \phi_{r}) [/mm] und W = [mm] (\phi_{r+1} [/mm] bis [mm] \phi_{n}).
[/mm]
Zeige:
fU [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \gdw [/mm] A3 = 0
fW [mm] \subseteq [/mm] W [mm] \gdw [/mm] A2 = 0
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Es wäre nett, wenn mir jemand wenigstens mal einen Ansatz erläutern könnte. Ich steh da nämlich total auf dem Schlauch und weiss überhaupt nicht wo und wie ich sinnvoll anfangen soll... Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 So 01.01.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
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> Sei f [mm]\in[/mm] End V, sei [mm]\phi[/mm] = [mm](\phi_{1}...\phi_{r}, \phi_{r+1}[/mm]
> bis [mm]\phi_{n})[/mm] eine geordnete Basis von V. Sei A = M [mm]\phi(f)[/mm]
> Darstellungsmatrix = [mm]\pmat{ A1 & A2 \\ A3 & A4 }[/mm] in Blöcke
> zerlegt (A1 [mm]\in k^{rxr},[/mm] A2 [mm]\in k^{rxs},[/mm] A3 [mm]\in k^{sxr},[/mm] A4
> [mm]\in k^{sxs}.[/mm]
> Sei U = [mm](\phi_{1}[/mm] bis [mm]\phi_{r})[/mm] und W =
> [mm](\phi_{r+1}[/mm] bis [mm]\phi_{n}).[/mm]
> Zeige:
> fU [mm]\subseteq[/mm] U [mm]\gdw[/mm] A3 = 0
> fW [mm]\subseteq[/mm] W [mm]\gdw[/mm] A2 = 0
>
Diese beiden Aufgaben haben zwei Richtungen... Überlege dir zunächst mal die Rückrichtung... Wenn der Block A3 der Nullblock ist, auf was wird dann ein Basisvektor von U abgebildet? (Das ist einer der ersten r Vektoren...) Da es alles schön geordnet ist wir der Basisvektor auf eine Linearkombination er ersten r Vektroen abgebildet (ein Bild solch eines Vektor entspricht gerade dem was in der entsprechenden Spalte steht...)
Und eine Linearkombination von Vektoren nur aus U ist wieder in U, also $fU [mm] \subseteq [/mm] U$, da jeder andere Vektor aus U dann auch in U liegt, wenn man f auf ihn anwendet... (Ein Endomorphismus wird durch das Bild auf den Basisvektroen eindeutig bestimmt)
Analog mit W, wobei ein Basisvektor aus W nur auf die letzten s Vektoren.
Die Rückrichtung funktioniert dann so ähnlich... Musst die halt überlegen das jeder Vektor aus U keinen eintrag in A3 haben darf, da sonst der eine (Basis-)Vektor nich in U liegt...
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 01.01.2006 | | Autor: | Geddie |
Schon ein bisschen was habe ich jetzt verstanden, jedoch steige ich noch nicht ganz dahinter, was U mit A3 und W mit A2 zu tun haben? Genau dieser Zusammenhang ist mir ein Rätsel, was [mm] \phi_{1} [/mm] bis [mm] \phi_{r} [/mm] mit A3 zu tun hat und das andere mit A2..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 So 01.01.2006 | | Autor: | Micha |
Also jedes solche [mm] $\phi$ [/mm] ist doch ein Basisvektor (ist dir der Begriff klar?)
Diese Matrix sagt nun was mit diesem Basisvektor passiert... Jede Spalte der Matrix entspricht genau einem Basisvektor...
nämlich genau die 3. Spalte zum Beispiel zum 3. Basisvektor (die waren nummeriert von 1 bis r und von r+1 bis r+s)
Angenommen die Matrix sieht so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 5 & 6 } [/mm]
dann wird der
1. Basisvektor abgebildet auf den Vektor [mm] f(\phi_2 ) = 1*\phi_1 + 0 * \phi_2 + 0* \phi_3 [/mm]
2. Basisvektor abgebildet auf den Vektor [mm] f(\phi_2 ) = 2*\phi_1 + 0 * \phi_2 + 5* \phi_3 [/mm]
3. Basisvektor abgebildet auf den Vektor [mm] f(\phi_2 ) = 3*\phi_1 + 4 * \phi_2 + 6* \phi_3 [/mm]
Wenn man nun die Basisvektorn linear kombiniert kommt nach Abbildung von f also eine lineare Kombination der Vektoren am ende heraus...
Was passier nun wenn du so einen Nullblock hast? Dann ist das Bild eine Kombination der Nicht-Nulleinträge...und die sind in einem bestimmten Unterraum drin...
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 So 01.01.2006 | | Autor: | Geddie |
Hm, ich glaub ich verstehe so langsam, nur das mit den Blockmatrizen irritierte mich noch ein wenig. Werd mich da nachher dann nochmal dransetzen. Danke auf jeden Fall schon in deine Richtung!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 01.01.2006 | | Autor: | Geddie |
Ist dein Bsp denn auch so einfach auf meine Blockmatrix anwendbar?? Da hats noch nicht ganz so KLICK gemacht bei mir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 So 01.01.2006 | | Autor: | Micha |
> Ist dein Bsp denn auch so einfach auf meine Blockmatrix
> anwendbar?? Da hats noch nicht ganz so KLICK gemacht bei
> mir
Blockmatrix heißt doch nur, dass meine Matrix im Beispiel eine besondere Form hat... nämlich das ein bestimmter bereich davon (ein Block) nur Nullen sind...
Alles andere Funktioniert genauso...
Gruß Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 05.01.2006 | | Autor: | neli |
ich habe mal eine Frage zum Schritt von Links nach Rechts
Also [mm] f(\phi) [/mm] entspricht doch im Prinzip [mm] \pmat{ A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 } \* [/mm]
[mm] \pmat{A_1\\A_3} [/mm] oder hab ich das falsch verstanden?
weil dann verstehe ich nicht warum nicht auch [mm] A_2 [/mm] und [mm] A_4 [/mm] null sein könnten sondern [mm] A_3 [/mm] null ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Do 05.01.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> ich habe mal eine Frage zum Schritt von Links nach Rechts
> Also [mm]f(\phi)[/mm] entspricht doch im Prinzip [mm]\pmat{ A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 } \*[/mm]
> [mm]\pmat{A_1\\A_3}[/mm] oder hab ich das falsch verstanden?
> weil dann verstehe ich nicht warum nicht auch [mm]A_2[/mm] und [mm]A_4[/mm]
> null sein könnten sondern [mm]A_3[/mm] null ist
Hmm also du schreibst etwas von einer Matrizenmultiplikation... wir haben hier aber nur die Matrix an den Basisvektoren [mm] $\phi$ [/mm] ausgewertet (indem wir von links die Matrix an sie multipliziert haben...)
Was meinst du genau?
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Do 05.01.2006 | | Autor: | neli |
ich dachte genau dass hätte ich auch gemacht
ich habe die matrix von links mit der Basis multipliziert
die einzelnen Spalten des Ergebnisses sind doch dann das Bild der entsprechenden Basisvektoren unter f oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 So 08.01.2006 | | Autor: | Geddie |
Ich habe leider es nicht hinbekommen, das auf zu schreiben, was du mir versucht hast zu erklären bzw. ich konnte es nicht formalisieren. HAb jetzt einfach mal einen Text dazu geschrieben. Ich denke zwar nicht, dass das richtig sein wird, aber naja.. Trotzdem danke für die Mühe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 So 08.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo neli!
> weil dann verstehe ich nicht warum nicht auch [mm]A_2[/mm] und [mm]A_4[/mm]
> null sein könnten sondern [mm]A_3[/mm] null ist
Sie könnte ja durchaus null sein, nur spielt das keine Rolle. Wichtig ist alleine, was mit [mm] $A_3$ [/mm] passiert.
Noch einmal: Die Bilder der Basisvektoren von $U$ müssen sich alleine mit den Basisvektoren aus $U$ darstellen lassen. Dies ist genau dann der Fall, wenn die restlichen Skalare alle $0$ sind.
Liebe Grüße
Stefan
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