Bogenlänge < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Fr 07.09.2007 | | Autor: | elefanti |
| Aufgabe | Berechnen der Bogenlänge der trichterförmigen Schraubenlinie:
x(t) = (1+t)sin(2 [mm] *\pi [/mm] * t)
y(t) = (1+t)cos(2 [mm] *\pi [/mm] * t)
z(t) = 2t
für [mm] t\in[0,4] [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Das ist nun auch meine letzte Bogenlängenaufgabe ;)
[mm] \gamma(t) [/mm] = ((1+t)sin(2 [mm] *\pi [/mm] * t), (1+t)cos(2 [mm] *\pi [/mm] * t), 2t)
[mm] \gamma'(t) [/mm] = (1*sin(2 [mm] *\pi [/mm] * t) + (1+t)cos(2 [mm] *\pi [/mm] * t), 1*cos(2 [mm] *\pi [/mm] * t) + (1+t)sin(2 [mm] *\pi [/mm] * t), 2)
[mm] ||\gamma'(t)||2 [/mm] = [mm] \wurzel{ (sin^2(2 *\pi * t) + (1+t)^2cos^2(2 *\pi * t)+ cos^2(2 *\pi * t) + (1+t)^2sin^2(2 *\pi * t) + 4)}
[/mm]
= [mm] \wurzel{ (sin^2(2 *\pi * t)+ cos^2(2 *\pi * t) + (1+t)^2cos^2(2 *\pi * t) + (1+t)^2sin^2(2 *\pi * t) + 4)}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2(1+t)^2 + 1 + 4}
[/mm]
[mm] =\wurzel{2(1+t)^2 + 5}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2(1 + 2t + t^2) + 5}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2 + 4t + 2t^2 + 5}
[/mm]
[mm] L(\gamma) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{4}{\wurzel{2 + 4t + 2t^2 + 5} dt}
[/mm]
= [2t + [mm] 4t^2 [/mm] / 2 + [mm] 2t^3 [/mm] /3 + 5t]
= [7t + [mm] 2t^2 [/mm] + 2/3 [mm] t^3]
[/mm]
= 7*4 + [mm] 2*4^2 [/mm] + 2/3 * [mm] 4^3
[/mm]
= 28 + 32 + 2/3 * 64
= 102 2/3
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Fr 07.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
da habe ich jetzt auch einmal eine Verständnisfrage.
Du hast ja richtig berechnet:
> Hallo!
>
>
> Das ist nun auch meine letzte Bogenlängenaufgabe ;)
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = ((1+t)sin(2 [mm]*\pi[/mm] * t), (1+t)cos(2 [mm]*\pi[/mm] * t), 2t)
> [mm]\gamma'(t)[/mm] = (1*sin(2 [mm]*\pi[/mm] * t) + (1+t)cos(2 [mm]*\pi[/mm] * t), 1*cos(2 [mm]*\pi[/mm] * t) + (1+t)sin(2 [mm][mm] *\pi* [/mm] t),2)
>
> [mm]||\gamma'(t)||2[/mm] = [mm]\wurzel{ (sin^2(2 *\pi * t) + (1+t)^2cos^2(2 *\pi * t)+ cos^2(2 *\pi * t) + (1+t)^2sin^2(2 *\pi * t) + 4)}[/mm]
Aber müsste [mm]||\gamma'(t)||[/mm] dann nicht so lauten:
[mm]||\gamma'(t)||[/mm][mm] =\wurzel{\red{(1*sin(2*\pi*t)+(1+t)cos(2*\pi*t))^2}+\green{(1*cos(2 *\pi* t) + (1+t)sin(2*\pi* t))^2}+4}
[/mm]
Dann müsste man nämlich beim Klammer auflösen beachten, dass es sich um binomische Formeln handelt. Oder liege ich jetzt falsch?
Sorry, dass ich dir nicht weiterhelfen kann.
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Sa 08.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
du hast beim Ableiten der Winkelfunktionen die innere Ableitung und ein Minuszeichen vergessen:
[mm]\gamma(t) = ((1+t)sin(2 *\pi * t), (1+t)cos(2 *\pi * t), 2t) [/mm]
[mm]\gamma'(t) = (1*sin(2 *\pi * t) + \red{2\pi}(1+t)cos(2 *\pi * t), 1*cos(2 *\pi * t) \red{-} \red{2\pi}(1+t)sin(2 *\pi * t), 2) [/mm]
Wie barsch eben schon schrieb, hast du die Summanden getrennt quadriert statt der Summe.
Später verschwindet dann die Wurzel im Integral ganz heimlich... 
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 So 09.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr zwei,
danke für eure Hinweise.
Ich habe nun meine Ableitung und [mm] ||\gamma(t)||2 [/mm] geändert, habe aber leider nicht das richtige raus, da
>Später verschwindet dann die Wurzel im Integral ganz heimlich...
dies bei mir nicht zutrifft :(
[mm] \gamma'(t) [/mm] = [mm] (sin(2\pi [/mm] *t) + [mm] (1+t)cos(2\pi [/mm] *t) * [mm] 2\pi,
[/mm]
[mm] cos(2\pi [/mm] *t) - [mm] (1+t)sin(2\pi [/mm] * t) * [mm] 2\pi,
[/mm]
2)
=> [mm] ||\gamma(t)||2 [/mm] = [mm] \wurzel{(sin(2\pi *t) + (1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi)^2 + (cos(2\pi *t) - (1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi)^2 + 4}
[/mm]
= [mm] \wurzel{(sin^2(2\pi *t) + 2(sin(2\pi *t) * (1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi) + ((1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi)^2 + cos^2(2\pi *t) -2(cos(2\pi *t) (1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi) +((1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi)^2 + 4}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2(sin(2\pi *t) * (1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi) + ((1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi)^2 + -2(cos(2\pi *t) (1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi) +((1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi)^2 + 1 + 4}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2(sin(2\pi *t) * (1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi) + (1+t)^2cos^2(2\pi *t) * 4\pi^2 + -2(cos(2\pi *t) (1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi) +(1+t)^2sin^2(2\pi * t) * 4\pi^2 + 1 + 4}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2(sin(2\pi *t) * (1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi) + (2cos^2(2\pi * t)+2sin^2(2\pi * t))*((1+t)^2 * 4\pi^2) -2(cos(2\pi *t) (1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi) + 1 + 4}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2(sin(2\pi *t) * (1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi) + 2*(1+t)^2 * 4\pi^2 -2(cos(2\pi *t) (1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi) + 1 + 4}
[/mm]
= [mm] \wurzel{(2(sin(2\pi *t) cos(2\pi *t) -2(cos(2\pi *t) sin(2\pi * t))*(1+t) * 2\pi)+ 2*(1+t)^2 * 4\pi^2 + 1 + 4}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2*(1+t)^2 * 4\pi^2 + 1 + 4}
[/mm]
Liebe Grüße
Elefanti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 So 09.09.2007 | | Autor: | Peter_Pein |
Hi, es war gemeint, das in Deinem Text die Wurzel beim Integrieren verschwunden ist. Wenn sie wieder aufgetaucht ist: um so besser...
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mo 10.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe nun meine Ableitung und [mm]||\gamma(t)||2[/mm] geändert,
> habe aber leider nicht das richtige raus, da
> >Später verschwindet dann die Wurzel im Integral ganz
> heimlich...
> dies bei mir nicht zutrifft :(
Dochdoch, du hast beim Integrieren so getan, als wäre die Wurzel nicht da.
> [mm]\gamma'(t)[/mm] = [mm](sin(2\pi[/mm] *t) + [mm](1+t)cos(2\pi[/mm] *t) * [mm]2\pi,[/mm]
> [mm]cos(2\pi[/mm] *t) - [mm](1+t)sin(2\pi[/mm] * t) * [mm]2\pi,[/mm]
> 2)
>
> => [mm]||\gamma(t)||2[/mm] = [mm]\wurzel{(sin(2\pi *t) + (1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi)^2 + (cos(2\pi *t) - (1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi)^2 + 4}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{(sin^2(2\pi *t) + 2(sin(2\pi *t) * (1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi) + ((1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi)^2 + cos^2(2\pi *t) -2(cos(2\pi *t) (1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi) +((1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi)^2 + 4}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{2(sin(2\pi *t) * (1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi) + ((1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi)^2 + -2(cos(2\pi *t) (1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi) +((1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi)^2 + 1 + 4}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{2(sin(2\pi *t) * (1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi) + (1+t)^2cos^2(2\pi *t) * 4\pi^2 + -2(cos(2\pi *t) (1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi) +(1+t)^2sin^2(2\pi * t) * 4\pi^2 + 1 + 4}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{2(sin(2\pi *t) * (1+t)cos(2\pi *t) * 2\pi) + (\red{2}cos^2(2\pi * t)+\red{2}sin^2(2\pi * t))*((1+t)^2 * 4\pi^2) -2(cos(2\pi *t) (1+t)sin(2\pi * t) * 2\pi) + 1 + 4}[/mm]
Wo kommt den plötzlich der Faktor 2 her?
> [...]
> = [mm]\wurzel{\red{2}*(1+t)^2 * 4\pi^2 + 1 + 4}[/mm]
Der rot markierte Faktor ist falsch. Richtig ist [mm]\wurzel{(1+t)^2 * 4\pi^2 +5}[/mm].
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 So 09.09.2007 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallöle,
Bis zum Vereinfachen der Wurzel komme ich auf fast das gleiche Ergebnis [mm] ($\gamma [/mm] ' = [mm] \sqrt{4 \pi ^2 (t+1)^2+5}$). [/mm] Aber von der Ausführung des Integrals bin ich etwas überrascht. Du scheinst die Wurzel zu ignorieren.
Ich komme auf
[mm] $\integral_{0}^{4} {\sqrt{4 \pi ^2 (t+1)^2+5}] dt}$
[/mm]
mit der Substitution [mm] $\sinh(u)=\frac{2 \pi}{\sqrt{5}} [/mm] (t+1)$
ergibt das
[mm]\integral_{\sinh ^{-1}\left(\frac{2 \pi }{\sqrt{5}}\right)}^{\sinh ^{-1}\left(2 \sqrt{5} \pi \right)}{\frac{5 \cosh ^2(u)}{2 \pi } du} = \frac{1}{2} \left(-\sqrt{5+4 \pi ^2}+5 \sqrt{5+100 \pi ^2}\right)-\frac{5 \left( \sinh^{-1}\left(\frac{2 \pi }{\sqrt{5}}\right)-\sinh ^{-1}\left(2 \sqrt{5} \pi\right)\right)}{4 \pi }[/mm]
Als numerische Näherung ergibt sich somit etwa 76.03274.
Peter
P.S.: Es passiert gelegentlich, dass ich trotz mehrmaligen Lesens wichtige Details übersehe. Falls dies hier auch der Fall sein sollte: Pardon!
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