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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 So 13.07.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | [mm] \beta [/mm] (t)=(cosh(t), sinh (t), t) |
Hallo.
Könnte mir jemand erklären wie ich zum Beispiel für obige Kurve die Bogenlänge berechnen kann? Sagen wir mal in den Zeiten zwischen 0 und T.
Das wäre echt lieb denn irgendwie komme ich mit dem was ich dazu finde nicht so klar, hab aber ähnliche Aufgaben die ich dann gerne selber lösen möchte. 
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Hallo chipbit,
um die Bogenlänge $l$ von 0 bis T deiner Kurve [mm] $\beta$ [/mm] zu berechnen, benutze die Formel:
[mm] $l=\int\limikts_{0}^{T}{||\beta'(t)|| \ dt}$
[/mm]
Berechne also die Ableitung deiner Kurve, dann die Norm davon nehmen und integrieren.
Beim Integrieren ist es hilfreich, die Darsellung von [mm] $\sinh$ [/mm] und [mm] $\cosh$ [/mm] mit der e-Funktion zu benutzen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 So 13.07.2008 | | Autor: | hobes |
Hallo,
der Ansatz wie immer: [mm] \newline L=\int_{0}^{T}\, [/mm] | [mm] \, \beta'(t)\, [/mm] | [mm] \, [/mm] dt = [mm] \int_{0}^{T}\, [/mm] | [mm] \, \sqrt{\sinh^2(t)+\cosh^2(t)+1^2} [/mm] | [mm] \, [/mm] dt [mm] \dots
[/mm]
[mm] \newline [/mm] Und genau dann steh ich auch gerade auf dem Schlauch. Wie löst man das jetzt schön. Entweder: [mm] \-cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1 [/mm] einsetzen, oder auch: [mm] \sinh^2(t)+\cosh^2(t)=\cosh(2t), \dots
[/mm]
Wenn mir was einfällt, dann melde ich mich noch.
Gruß hobes
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Hallo hobes,
wenn du - wie ich es oben schon vorgeschlagen habe - die Definition von [mm] $\cosh$ [/mm] und [mm] $\sinh$ [/mm] als [mm] $\frac{e^x\pm e^{-x}}{2}$ [/mm] benutzt, bekommst du unter der Wurzel ein Quadrat, das sich dann schön weghebt
Danach kannst du elementar integrieren
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Mo 14.07.2008 | | Autor: | chipbit |
mh, okay, hab das jetzt so mal probiert....
habe da jetzt aber Folgendes raus und dabei bin ich mir nicht sicher:
[mm] \integral_{0}^{T}{\wurzel{\bruch{-1}{4}+\bruch{3}{4}+1} dt}
[/mm]
ist das richtig???
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Hallo chipbit,
> mh, okay, hab das jetzt so mal probiert....
> habe da jetzt aber Folgendes raus und dabei bin ich mir
> nicht sicher:
> [mm]\integral_{0}^{T}{\wurzel{\bruch{-1}{4}+\bruch{3}{4}+1} dt}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Huch? Verrate doch mal, wie du auf diesen Ausdruck kommst.
Es ist doch [mm] $\sinh(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$ [/mm] und [mm] $\cosh(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$
[/mm]
Also ist [mm] $\int\limits_{0}^T{||\beta'(t)|| \ dt}=\int\limits_{0}^T{\sqrt{\sinh^2(t)+\cosh^2(t)+1} \ dt}=\int\limits_{0}^T{\sqrt{\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)^2+\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)^2+1} \ dt}=...$
[/mm]
Fasse das mal zusammen ...
Das gibt ein Quadrat, das sich mit der Wurzel nett weghebt, so dass das verbleibende Integral sehr elementar zu lösen ist ...
Also nochmal nach- bzw. weiterrechnen 
Poste dann mal deine Rechenschritte ...
LG
schachuzipus
>
> ist das richtig???
Leider nicht ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Di 15.07.2008 | | Autor: | chipbit |
mmmhhhh...na so hab ich das ja gehabt.
Dann muss ich was beim ausrechnen der Quadrate falsch gemacht haben.
[mm] \left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)^2 [/mm] hab ich eben zum Beispiel versucht auszurechnen undzwar so : [mm] \frac{e^{2t}+e^{-2t}-e^0-e^0}{4}
[/mm]
da hab ich wohl bei dem einen e das - übersehen....ach keine ahnung....blick da grad nich durch
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Hallo nochmal,
> mmmhhhh...na so hab ich das ja gehabt.
> Dann muss ich was beim ausrechnen der Quadrate falsch
> gemacht haben.
> [mm]\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)^2[/mm] hab ich eben zum
> Beispiel versucht auszurechnen undzwar so :
> [mm]\frac{e^{2t}+e^{-2t}-e^0-e^0}{4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist doch richtig, wenn du das [mm] $e^0$ [/mm] noch als $1$ schreibst, ist also
[mm] $\sqrt{\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)^2+\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)^2+1}=\sqrt{\frac{e^{2t}+e^{-2t}-2}{4}+\frac{e^{2t}+e^{-2t}+2}{4}+\frac{4}{4}}=\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{2e^{2t}+2e^{-2t}+4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}\sqrt{(e^t+e^{-t})^2}=...$
[/mm]
> da hab ich wohl bei dem einen e das - übersehen....ach
> keine ahnung....blick da grad nich durch
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Di 15.07.2008 | | Autor: | chipbit |
ah okay, fand das sah komisch aus.
[mm] \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}\sqrt{(e^t+e^{-t})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}(e^t+e^{-t})
[/mm]
dann wäre also [mm] \integral_{0}^{T}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}(e^t+e^{-t})dt}=\sqrt{2}\cdot{}sinh(T)-\sqrt{2}\cdot{}sinh(0)=\sqrt{2}\cdot{}sinh(T)
[/mm]
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Hallo chipbit,
> ah okay, fand das sah komisch aus.
> [mm]\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}\sqrt{(e^t+e^{-t})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}(e^t+e^{-t})[/mm]
>
> dann wäre also
> [mm]\integral_{0}^{T}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}(e^t+e^{-t})dt}=\sqrt{2}\cdot{}sinh(T)-\sqrt{2}\cdot{}sinh(0)=\sqrt{2}\cdot{}sinh(T)[/mm]
>
Ja, so sieht das sehr gut aus!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 Di 15.07.2008 | | Autor: | chipbit |
Ja super! Danke dir!
Dann kann ich das ja jetzt mit meinen Aufgaben versuchen....aber eine Frage hätte ich noch. Ich soll zu meinen Aufgaben dann Skizzen zu deren Verlauf machen, die sind ja ähnlich wie das Beispiel. Wäre der Verlauf bei dem Beispiel dann einfach die Kurve des sinh um den Faktor [mm] \sqrt{2} [/mm] verändert? Oder wie kann man sich das vorstellen?
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> eine Frage hätte ich noch. Ich soll zu
> meinen Aufgaben dann Skizzen zu deren Verlauf machen, die
> sind ja ähnlich wie das Beispiel. Wäre der Verlauf bei dem
> Beispiel dann einfach die Kurve des sinh um den Faktor
> [mm]\sqrt{2}[/mm] verändert? Oder wie kann man sich das vorstellen?
Aus den Gleichungen für x und y
x(t)=cosh(t)
y(t)=sinh(t)
kann man t eliminieren und erhält die Gleichung [mm] x^2-y^2=1
[/mm]
Diese stellt eine Hyperbel in der x-y-Ebene dar. Wegen cosh(t)>0
wird nur der eine "Ast" der Hyperbel benützt. Dies ist der
Grundriss der Kurve. Dann kommt noch die dritte Koordinate
z(t)=t dazu - diese bewirkt, dass man in z-Richtung einen
(im Vergleich zum Verhalten von x(t) und y(t) "langsamen")
Anstieg hat.
Betrachtet man die Raumkurve "von oben" (von [mm] (0/0/\infty) [/mm] her),
so sieht man also einen Hyperbelast. Schaut man von [mm] (0/\infty/0) [/mm] her,
sieht man eine "Kettenlinie" (cosh-Kurve). Von [mm] (\infty/0/0) [/mm] her gesehen ergibt sich
eine sinh-Kurve.
Insgesamt ergäbe dies eine wundervolle Animation eines StarTrek-
Raumschiffs, das aus einer Raumrichtung daherkommt, sich verlangsamt,
bis auf eine Minimaldistanz annähert und dann mit Beschleunigung in
eine andere Richtung davonsaust...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Sa 26.07.2008 | | Autor: | chipbit |
Ah, das war sehr anschaulich, Danke sehr :)
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> Hallo,
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> der Ansatz wie immer: [mm]\newline L=\int_{0}^{T}\,[/mm] | [mm]\, \beta'(t)\,[/mm]
> | [mm]\,[/mm] dt = [mm]\int_{0}^{T}\,[/mm] | [mm]\, \sqrt{\sinh^2(t)+\cosh^2(t)+1^2}[/mm]
> | [mm]\,[/mm] dt [mm]\dots[/mm]
> [mm]\newline[/mm] Und genau dann steh ich auch gerade auf dem
> Schlauch. Wie löst man das jetzt schön. Entweder:
> [mm]\-cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1[/mm] einsetzen, oder auch:
> [mm]\sinh^2(t)+\cosh^2(t)=\cosh(2t), \dots[/mm]
>
> Wenn mir was einfällt, dann melde ich mich noch.
>
> Gruß hobes
Du hast doch schon alles, was du brauchst:
Aus [mm]\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1[/mm] folgt
[mm]\cosh^2(t)=\sinh^2(t)+1[/mm].
Die rechte Seite findest du doch im Integranden unter der Wurzel wieder, so dass du vereinfachst zu
[mm]\int_{0}^{T}\,[/mm][mm]\, \sqrt{\sinh^2(t)+\cosh^2(t)+1^2} dt[/mm]= [mm]\int_{0}^{T}\,[/mm][mm]\, \sqrt{2\cosh^2(t)} dt[/mm]= [mm]\int_{0}^{T}\,[/mm][mm]\, \sqrt{2}\cosh(t) dt[/mm]= [mm] \sqrt{2}\sinh(t) [/mm] von 0 bis T = [mm] \sqrt{2}\sinh(T)
[/mm]
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