Bogenlänge berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:13 So 03.06.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Berechne die Bogenlinie der Kardioide [mm] [0,2\pi] t\to \vektor{(1-cost)cost \\ 1-cost)sint}
[/mm]
Und zeichne die Kardioide! |
[mm] L=\integral_{a}^{b}{\parallel f'(t)\parallel dt}
[/mm]
[mm] |f'(t)|=\wurzel{(1-tsin(t)+cos(t))*(-sin(t(1+cos(t)))^2+((1-tsin(t)+cos(t))*(cos(t(1+cos(t)))^2}
[/mm]
[mm] =\wurzel{(1-tsin(t)+cos(t))^2}
[/mm]
=|1-tsin(t)+cos(t)|
[mm] L=\integral_{0}^{2\pi}{|1-tsin(t)+cos(t)| dt}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{|1-tsin(t)+cos(t)| dt}=\integral_{0}^{\pi}{|1-tsin(t)+cos(t)| dt}+\integral_{\pi}^{2\pi}{|1-tsin(t)+cos(t)| dt}
[/mm]
Jetzt nur noch einsetzen.
Soweit alles richtig gerechnet?
LG
heinze
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Wenn ich es richtig überblicke sind Fehler in der Ableitung.
Schreibe einmal die Ableitungen hin, dann sieht man den Fehler.
Z.B. wäre für die erste Komponente:
$ f'_1(x)=-sin(t)+2cos(t)sin(t) $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 So 03.06.2012 | | Autor: | heinze |
Stimmt, ich habe falsch abgeleitet!
((1-cos(t))cos(t))'=sin(t)cos(t)+(1-cos(t))(-sin(t))= sin(t)(2cos(t)-1)
((1-cos(t))sin(t))'= [mm] sin(t)cos(t)+(1-cos(t))(cos(t))=sin^2(t)-cos^2(t)+cos(t)
[/mm]
Allerdings kriege ich hier Probleme, wenn ich unter der Wurzel zusammenfassen soll.
[mm] |f'(t)|=\wurzel{(sin(t)(2cos(t)-1))^2+(sin^2(t)-cos^2(t)+cos(t))^2}
[/mm]
Könnt ihr mir ab hier etwas auf die Sprünge helfen? Denn jetzt wird es bei mir chaotisch mit umformen und zusammenrechnen.
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 So 03.06.2012 | | Autor: | weduwe |
man erhält mit den bekannten trigonometrischen umformungen und quadrieren
für den ausdrück unter der wurzel
[mm] 4\cdot sin^2\frac{t}{2} [/mm] woraus man noch problemlos die wurzel ziehen kann 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 So 03.06.2012 | | Autor: | heinze |
ja, der trigonometrische Pythagoras ist mir bekannt, allerdings komme ich nicht auf das was du raus hast. kannst du mir das vielleicht mal vorrechnen?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 So 03.06.2012 | | Autor: | weduwe |
benutze [mm]sin2t=2sint\cdot cost[/mm] und [mm]cos2t=cos^2t-sin^2t[/mm] sozusagen in beide richtungen
ok?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 So 03.06.2012 | | Autor: | heinze |
Nein, das ist mir leider nicht klar, warum ich das so machen kann....aber so würde es funktionieren mit trig. Pythagoras!
Danke :)
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 So 03.06.2012 | | Autor: | weduwe |
> Nein, das ist mir leider nicht klar, warum ich das so
> machen kann....aber so würde es funktionieren mit trig.
> Pythagoras!
>
> Danke :)
>
>
> LG
> heinze
was soll man denn nicht so machen dürfen?
von deiner (richtigen) ableitung ausgehnd hast du doch:
[mm](sint(2cost-1)^2+(sin^2t-cos^2t+cost)^2[/mm]
vorne die innere klammer ausmultiplizieren und zusammenfassen ergibt dann eben
[mm](sin2t-sint)^2+(cost-cos2t)^2[/mm]
quadrieren führt auf
[mm] sin^2t-2sint\cdot sin2t+sin^2 2t+cos^22t-2cos2t\cdot [/mm] cost+cos^2t
zusammenfassen
[mm] 2-2(sin2t\cdot sint+cos2t\cdot [/mm] cost)=2(1-cost)
und jetzt wendest du noch die anfangs angegebene formel auf [mm] \frac{t}{2} [/mm] an
was soll denn da nicht erlaubt sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 So 03.06.2012 | | Autor: | heinze |
Das habe ich leider nicht selbst gesehen.
dann habe ich also [mm] |f'(t)|=\wurzel{(2-2cos(t))^2}
[/mm]
Da komme ich nicht auf [mm] \wurzel{4*sin^2\bruch{1}{t}}
[/mm]
und wo ist hier cos(t) hin bei deinem Ausmultiplizieren des ersten Teils unter der Wurzel?
Also du hast geschrieben: [mm] (sin(t)(2cos(t)-1)^2=(sin2(t)-sin(t))^2 [/mm] Aber wo bleibt hier das cos(t)?
LG
heinze
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 So 03.06.2012 | | Autor: | weduwe |
> Das habe ich leider nicht selbst gesehen.
>
> dann habe ich also [mm]|f'(t)|=\wurzel{(2-2cos(t))^2}[/mm]
>
> Da komme ich nicht auf [mm]\wurzel{4*sin^2\bruch{1}{t}}[/mm]
>
> und wo ist hier cos(t) hin bei deinem Ausmultiplizieren des
> ersten Teils unter der Wurzel?
>
> Also du hast geschrieben:
> [mm](sin(t)(2cos(t)-1)^2=(sin2(t)-sin(t))^2[/mm] Aber wo bleibt
> hier das cos(t)?
>
> LG
> heinze
>
>
> LG
> heinze
da würde ich auch nicht hinfinden, denn das steht ja auch nirgendwo und ist falsch
oben steht bei mir - mit w für den ausdruck unter der wurzel
[mm]w=2(1-cost)[/mm]
nun könntest du ja versuchen, meinen tipp von oben selbst zu verwerten
zur erinnerung:
[mm] cos2\frac{t}{2}=.....
[/mm]
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Es wurden jetzt die Ableitungen gebildet und unter der Wurzel quadriert.
Dann erhält man wenn man die Wurzel zusammenfasst wie du schon gesagt hast:
[mm] |f'(t)|=\wurzel{2(1-cost)} [/mm] oder [mm] |f'(t)|=\wurzel{2-cos2t)}
[/mm]
Wie kommt ihr auf [mm] \bruch{t}{2}? [/mm] Kann ich nicht davon einfach das Integral von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] bestimmen?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Es wurden jetzt die Ableitungen gebildet und unter der
> Wurzel quadriert.
>
> Dann erhält man wenn man die Wurzel zusammenfasst wie du
> schon gesagt hast:
>
> [mm]|f'(t)|=\wurzel{2(1-cost)}[/mm] oder [mm]|f'(t)|=\wurzel{2-cos2t)}[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]|f'(t)|=\wurzel{2-2*cos\left(t\right)}[/mm]
> Wie kommt ihr auf [mm]\bruch{t}{2}?[/mm] Kann ich nicht davon
Da wurde ein Additonstheorem verwendet:
[mm]\cos\left(t\right)=\cos^{2}\left(\bruch{t}{2}\right)-\sin^{2}\left(\bruch{t}{2}\right)[/mm]
> einfach das Integral von 0 bis [mm]2\pi[/mm] bestimmen?
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Das Additionstheorem ist mir leider noch nicht bekannt...
dann wäre ja:
[mm] |f'(x)|=\wurzel{2-2(cos^2(\bruch{t}{2})-sin^2(\bruch{t}{2}))}
[/mm]
Aber ich steige nicht ganz dahinter wann und warum man das Additionstheorem anwenden muss und wie ich nun damit weiter vereinfachen kann.
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Das Additionstheorem ist mir leider noch nicht bekannt...
>
> dann wäre ja:
>
> [mm]|f'(x)|=\wurzel{2-2(cos^2(\bruch{t}{2})-sin^2(\bruch{t}{2}))}[/mm]
>
Ersetze hier [mm]cos^2(\bruch{t}{2})=1-\sin^2(\bruch{t}{2})[/mm]
> Aber ich steige nicht ganz dahinter wann und warum man das
> Additionstheorem anwenden muss und wie ich nun damit weiter
> vereinfachen kann.
>
Nun, das Additionstheorem verwendet man hier,
um die Wurzel los zu werden.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Dann erhalte ich:
[mm] \wurzel{2-2(cos^2(\bruch{1}{t})-sin^2(\bruch{t}{2})}
[/mm]
[mm] =\wurzel{2-2(1-2sin^2(\bruch{t}{2})}
[/mm]
[mm] =\wurzel{4sin^2(\bruch{t}{2})}
[/mm]
[mm] =2sin(\bruch{t}{2})
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{2sin(\bruch{t}{2}) dt}= 2sin\pi [/mm] aber das Ergebnis scheint mir nicht so ganz richtig zu sein.
Wenn ich mich recht erinner muss für die Bogenlänge der Kardioide 8 heraus kommen??
MfG
Mathegirl
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Hallo, die Stammfunktion lautet doch [mm] -4*cos(\bruch{t}{2}) [/mm] Steffi
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Achso...weil doch anfangs die ersten Ableitungen berechnet werden mussten. Dann Quadriere und addiere ich die ersten Ableitungen unter der Wurzel und dann die Stammfunktion???
Dann würde ich für die Bogenlänge 4 erhalten, wenn ich in die Stammfunktion einsetze. Muss diese aber nicht 8 sein? also die Bogenlänge?
MfG
Mathegirl
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Hallo, du hast beim Einsetzen der Grenzen Fehler gemacht, zeige uns mal bitte wie du die Grenzen eingesetzt hast, wenn alles ok ist, bekommst du auch 8, Steffi
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[mm] [-4*cos\bruch{t}{2}]^{2\pi}_0 [/mm] = [mm] [-4*cos\bruch{2\pi}{2}]-[-4*cos\bruch{0}{2}]=8 [/mm]
MfG
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Do 07.06.2012 | | Autor: | triad |
> Das Additionstheorem ist mir leider noch nicht bekannt...
>
Ich musste auch erst nochmal ins Skript schauen, um festzustellen, dass
$ [mm] \cos\left(t\right)=\cos^{2}\left(\bruch{t}{2}\right)-\sin^{2}\left(\bruch{t}{2}\right) [/mm] $
tatsächlich lediglich das Additionstheorem des Cosinus
[mm] cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)
[/mm]
für [mm] \alpha=\beta=\bruch{t}{2} [/mm] ist. Das nächste mal einfach dazu schreiben, dann sehen das auch die Ersties/Zweities sofort ;)
> dann wäre ja:
>
> [mm]|f'(x)|=\wurzel{2-2(cos^2(\bruch{t}{2})-sin^2(\bruch{t}{2}))}[/mm]
>
> Aber ich steige nicht ganz dahinter wann und warum man das
> Additionstheorem anwenden muss und wie ich nun damit weiter
> vereinfachen kann.
>
>
> MfG
> Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 So 03.06.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> Das habe ich leider nicht selbst gesehen.
>
> dann habe ich also [mm]|f'(t)|=\wurzel{(2-2cos(t))^2}[/mm]
Ohne dem Quadrat sollte es richtig sein.
>
> Da komme ich nicht auf [mm]\wurzel{4*sin^2\bruch{1}{t}}[/mm]
>
> und wo ist hier cos(t) hin bei deinem Ausmultiplizieren des
> ersten Teils unter der Wurzel?
>
> Also du hast geschrieben:
> [mm](sin(t)(2cos(t)-1)^2=(sin2(t)-sin(t))^2[/mm] Aber wo bleibt
> hier das cos(t)?
>
> LG
> heinze
>
>
> LG
> heinze
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Hmmm das verstehe ich nicht ganz muss die Stammfunktion zu [mm] 2sin(\bruch{t}{2}) [/mm] nicht [mm] -2cos(\bruch{t}{2}) [/mm] lauten?
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> Hmmm das verstehe ich nicht ganz muss die Stammfunktion zu
> [mm]2sin(\bruch{t}{2})[/mm] nicht [mm]-2cos(\bruch{t}{2})[/mm] lauten?
Hallo,
die Frage kannst Du Dir durch (richtiges) Ableiten selbst beantworten:
[mm] (-2cos(\bruch{t}{2}))'=\underbrace{\bruch{1}{2}}_{innere}*\underbrace{2\sin(\bruch{t}{2})}_{aeussere}=\sin(\bruch{t}{2}).
[/mm]
LG Angela
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Ah, klar ... ich war einfach zu blöd an den bruch innen zu denken ^^, da habe ich wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. OK, kann mir jetzt vielleicht noch jemand erklären wie ich Wolfram Alpha benutzen kann um mir die Funktion zeichnen zu lassen?
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> Ah, klar ... ich war einfach zu blöd an den bruch innen zu
> denken ^^, da habe ich wohl den Wald vor lauter Bäumen
> nicht gesehen. OK, kann mir jetzt vielleicht noch jemand
> erklären wie ich Wolfram Alpha benutzen kann um mir die
> Funktion zeichnen zu lassen?
Hallo,
welche Funktion denn eigentlich?
Na egal...
Ich tippe da einfach die Funktionsgleichung ein, etwas [mm] f(x)=x^4+2, [/mm] und dann kommt da u.a. ein schönes Bildchen.
LG Angela
EDIT: achso, Du meinst wohl die Kardioide [mm] t\to \vektor{(1-cost)cost \\ 1-cost)sint}.
[/mm]
Ich nehme dafür ![[]](/images/popup.gif) diesen Pltter, rechts kannst Du Dir die Parameterdarstellung bestellen.
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Gemeint ist die Funktion aus der ursprümnglichen Aufgabenstellung (s. ganz oben) leider ist die nicht so dargestellt, dass man das einfach so eintippen könnte. Deswegen frage ich mich jetzt halt wie ich von dieser Darstellung der Funktion zu einer Darstellung wie f(x)= .... kommen kann.
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Hallo,
s. die neueste Version meiner vorhergehenden Antwort.
LG Angela
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Ah, das ist eine praktische Seite, danke dir, habe ich dass jetzt richtig gezeichnet : http://fooplot.com/plot/4g002g731r ?
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> Ah, das ist eine praktische Seite, danke dir, habe ich dass
> jetzt richtig gezeichnet :
> http://fooplot.com/plot/4g002g731r ?
Hallo,
wie 'ne Kardoide schaut's jedenfalls aus.
Und da die Gleichungen auch richtig eingegeben sind, wird's wohl stimmen.
LG Angela
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OK, danke dir vielmals
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