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Ich weiss nicht ob, ich die Überschrift richtig gewählt habe. Hier drei Aufgaben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie geht man da ran? Ich bin ratlos.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Also zur dritten Aufgabe kann ich schon mal was sagen:
Du hast ja für diese Kurve im dreidimensionalen Raum quasi die Koordinaten [mm] $x=\frac{1}{2}sin(2t)$, $y=sin^2(t)$ [/mm] und $z=cos(t)$ gegeben. Um zu zeigen, dass diese Kurve auf der Einheitskugel verläuft, musst Du zeigen, dass für alle $t$ der Punkt $(x,y,z)$ auf der Einheitskugel liegt, also dass [mm] $x^2+y^2+z^2=1$ [/mm] gilt. Mit dem Additionstheorem
[mm] sin(2t)=2sin(t)cos(t)[/mm]
und der üblichen Gleichung [mm] $sin^2(t)+cos^2(t)=1$ [/mm] solltest Du es hinbekommen.
Viel Erfolg!
Brigitte
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Hallo nochmal!
Zur zweiten Frage:
Hier solltest Du zunächst mal dasjenige [mm] $t\in[0,2\pi)$ [/mm] bestimmen, für das $x(t)=(1+cos(t))cos(t)=0$ und gleichzeitig $y(t)=(1+cos(t))sin(t)=1$ gilt. Nennen wir dieses $t$ mal [mm] $\hat [/mm] t$. Dann solltest Du sowohl die $x$-Koordinate also auch die $y$-Koordinate nach $t$ ableiten. Als Tangente erhält man dann wieder einen Weg (in parametrisierter Form), und zwar
[mm](0,1)^T + s\cdot (x'(\hat t),y'(\hat t))^T, \; s\in\IR [/mm]
Viele Grüße
Brigitte
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Also, ich habe berechnet:
[mm] cos(t)=0 \Rightarrow t=\bruch{Pi}{2}[/mm]
war hier ja recht einfach.
Die Ableitung:
[mm] \vektor{x \\ y}' = \vektor{-2*sin(t)*cos(t)-sin(t) \\ +cos(t)-sin(t)^2+cos(t)^2} [/mm]
[mm]Pi/2[/mm]in die Ableitung eingesetzt liefert [mm] \vektor{-1\\-1}
[/mm]
somit für die Tangente:
[mm] \vektor{0\\1} + s * \vektor{-1\\-1}[/mm]
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo mac_dadda!
> Also, ich habe berechnet:
> [mm]cos(t)=0 \Rightarrow t=\bruch{Pi}{2}[/mm]
> war hier ja recht
> einfach.
>
> Die Ableitung:
> [mm]\vektor{x \\ y}' = \vektor{-2*sin(t)*cos(t)-sin(t) \\ +cos(t)-sin(t)^2+cos(t)^2}[/mm]
>
>
> [mm]Pi/2[/mm]in die Ableitung eingesetzt liefert [mm]\vektor{-1\\-1}
[/mm]
> somit für die Tangente:
> [mm]\vektor{0\\1} + s * \vektor{-1\\-1}[/mm]
> Richtig?
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Do 08.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du musst erst einmal schauen, für welches [mm] $\hat{t}$ [/mm] die Kurve die $x$-Achse schneidet (natürlich gibt es wegen der Periodizität unendlich viele solche [mm] $\hat{t}$, [/mm] aber es genügt eines anzugeben).
Die Frage ist also: Für welches [mm] $\hat{t}$ [/mm] ist die $y$-Koordinate der Zykloidenkurve gleich $0$?
Für welches [mm] $\hat{t}$ [/mm] ist also:
$r - R [mm] \cos(\hat{t}) [/mm] = 0$ ?
Du schaffst es sicher, das nach [mm] $\hat{t}$ [/mm] aufzulösen. 
Wie lautet dein Ergebnis?
Nun ist der Winkel der Kurve mit der $x$-Achse definitionsgemäß der Winkel zwischen dem Tangentialvektor im Schnittpunkt der Kurve mit der $x$-Achse und dem Vektor [mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Allgemein ist der Tangentialvektor der Kurve zur Zeit $t$ ja (beide Komponenten nach $t$ ableiten):
[mm] $\begin{pmatrix} r - R\cos(t) \\ R \sin(t) \end{pmatrix}$.
[/mm]
Setze nun anstelle des $t$ dein [mm] $\hat{t}$ [/mm] von oben ein, dann hast du den Tangentialvektor im Schnittpunkt der Kurve mit der $x$-Achse.
Nun gilt für den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] zwischen den beiden Vektoren bekanntlich:
[mm] $\cos(\alpha) [/mm] = [mm] \frac{\left\langle \begin{pmatrix} r - R\cos(\hat{t}) \\ R \sin(\hat{t}) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rangle }{\left\Vert \begin{pmatrix} r - R\cos(\hat{t}) \\ R \sin(\hat{t}) \end{pmatrix} \right\Vert}$.
[/mm]
Bitte rechne das aus und teile uns dein Ergebnis zur Kontrolle mit.
Liebe Grüße
Stefan
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Ich habe probiert nach deiner Anleitung vorzugehen und bin kurz davor den Winkel auszurechnen, habe aber leider ein kleines Problem, da ich nicht weiss, wie ich einen Therm vereinfachen kann. Ich habe alles ganz ausführlich aufgeschrieben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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laut Maple ist [mm] R*sin(arccos(\bruch{r}{R})) [/mm]
gleich [mm] R*\wurzel{1-\bruch{r^2}{R^2}} [/mm]
ich benutze das einfach mal.
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[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm]cos(\alpha)=1[/mm] bedeutet WInekl von 0 Grad.
Richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo mac_dadda!
Hier hast du dich vertan. Das Skalarprodukt ist gleich $0$. Verstehst du das? Wenn nicht, dann frage bitte nach. (Und hier sieht man, dass man gar nicht zu wissen brauchte, wie die zweite Komponente des Tangentialvektors genau aussieht.)
Wir haben also:
[mm] $\cos(\alpha)=0$.
[/mm]
Frage an dich: Was bedeutet das denn jetzt für den Schnittwinkel [mm] $\alpha$?
[/mm]
Ich warte auf deine Antwort.
Liebe Grüße
Stefan
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Ja. Skalarprodukt liefert 0. Ich hatte wohl Kreuzprodukt oder so gemcht.
cos(o)=1, also 0 Grad Tangentensteigung. Damit wäre die Zykloide damit "flach"? Wie nennt man das, was für die Zykloide an diesem Punkt vorliegt?
Danke für die Hilfe, war sehr hilfreich und verständlich.
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Hallo mac_dadda!
> Ja. Skalarprodukt liefert 0. Ich hatte wohl Kreuzprodukt
> oder so gemcht.
Eher oder so 
> cos(o)=1, also 0 Grad Tangentensteigung.
Nein, da hast Du was verwechselt. Es muss doch [mm] $cos(\alpha)=0$ [/mm] gelöst werden. Aber das schaffst Du sicher auch
> Damit wäre die
> Zykloide damit "flach"? Wie nennt man das, was für die
> Zykloide an diesem Punkt vorliegt?
>
> Danke für die Hilfe, war sehr hilfreich und verständlich.
Beziehe ich mal nicht auf mich, war ja schließlich Stefan. Bin nur gerade online...
Liebe Grüße
Brigitte
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also, natürlich:
cos(alpha)=0 bedeutet alpha= PI/2
somit 90 Grad Winkel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo mac_dadda!
> also, natürlich:
> cos(alpha)=0 bedeutet alpha= PI/2
>
> somit 90 Grad Winkel
Aha. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo mac_dadda!
Das ist richtig, aber das braucht man gar nicht, wie man an der Rechnung sieht (genaueres gleich ).
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo mac_dadda!
Das sieht super aus bis dahin!
Liebe Grüße
Stefan
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