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| Aufgabe | Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum $ [mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P) $
und Mengen $ [mm] A_n \in \mathcal{A}, [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] $ an, sodass zwar $ [mm] \sum_{n \in \mathbb{N}} P(A_n) [/mm] = [mm] \infty [/mm] $ aber
$ [mm] P(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) [/mm] = 0 $ |
Hallo mal wieder :)
Also normalerweise sagt ja das Barol-Canetlli Lemma aus, wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten divergiert und die Ereignisse paarweise unabhängig sind, dann ist
$ [mm] P(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) [/mm] = 1 $.
Da in der Aufgabe aber $ [mm] P(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) [/mm] = 0 $ rauskommen soll, dachte ich mir dass ich abhängige Erignisse dafür brauche.
Das Beispiel dass ich mir ausdachte:
Man betrachtet das 1-malige Würfeln eines m-seitigen Würfels
Das Ereignis [mm] $A_n$ [/mm] ist das Ereignis dass eine 1 gewürfelt wird, für $n [mm] \in \mathbb{B} [/mm] $
Dann gilt zum einen $ [mm] P(A_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{m}$, [/mm] also $ [mm] \sum_{n \in \mathbb{N}} P(A_n) [/mm] = [mm] \infty [/mm] $
und außerdem ist ja $ [mm] A_1 [/mm] = [mm] A_2 [/mm] = [mm] \dots [/mm] $ also $ [mm] P(A_1 \cap A_2 [/mm] ) = P [mm] (A_1) \neq P(A_1)*P(A_2) [/mm] $ also sind sie nicht stochastisch unabhängig.
und dann ist aber $ [mm] P(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{m} [/mm] $
kann ich nun $m$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] laufen lassen und erhalte ich dann die Behauptung? Wenn nein, dann bräuchte ich Hilfe :)
lg
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> Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \mathcal{A}, P)[/mm]
> und Mengen [mm]A_n \in \mathcal{A}, n \in \mathbb{N}[/mm] an, sodass
> zwar [mm]\sum_{n \in \mathbb{N}} P(A_n) = \infty[/mm] aber
> [mm]P(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) = 0[/mm]
> Hallo mal
> wieder :)
>
> Also normalerweise sagt ja das Barol-Canetlli Lemma aus,
> wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten divergiert und die
> Ereignisse paarweise unabhängig sind, dann ist
> [mm]P(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) = 1 [/mm].
> Da in der Aufgabe aber [mm]P(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) = 0[/mm]
> rauskommen soll, dachte ich mir dass ich abhängige
> Erignisse dafür brauche.
Hallo,
das ist schonmal richtig beobachtet.
>
> Das Beispiel dass ich mir ausdachte:
> Man betrachtet das 1-malige Würfeln eines m-seitigen
> Würfels
> Das Ereignis [mm]A_n[/mm] ist das Ereignis dass eine 1 gewürfelt
> wird, für [mm]n \in \mathbb{B}[/mm]
> Dann gilt zum einen [mm]P(A_n) = \frac{1}{m}[/mm],
> also [mm]\sum_{n \in \mathbb{N}} P(A_n) = \infty[/mm]
> und
> außerdem ist ja [mm]A_1 = A_2 = \dots[/mm] also [mm]P(A_1 \cap A_2 ) = P (A_1) \neq P(A_1)*P(A_2)[/mm]
> also sind sie nicht stochastisch unabhängig.
>
> und dann ist aber [mm]P(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) = \frac{1}{m}[/mm]
>
> kann ich nun [mm]m[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] laufen lassen und erhalte ich
> dann die Behauptung? Wenn nein, dann bräuchte ich Hilfe
> :)
Das geht natürlich nicht, da m in deinem Zufallsexperiment eine Konstante ist. (Was soll dann z.B. das Ereignis [mm]A_1[/mm] sein?)
Ein zielführender Ansatz ist, Ereigniss [mm]A_1\supset A_2\supset ...[/mm] zu betrachten, so dass der Durchschnitt Wahrscheinlichkeit 0 hat.
>
> lg
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Hi
ich glaub der Tipp hilft mir:
Wenn ich definiere:
$ [mm] \Omega [/mm] := (0,1) $
$ [mm] \mathcal{A} [/mm] := [mm] \mathcal{B}((0,1)) [/mm] $
$ P := [mm] \lambda [/mm] $ (Lebesgue-Maß)
$ [mm] A_n [/mm] := (0, [mm] \frac{1}{n}) [/mm] $
dann ist $ [mm] \sum_{n \in \mathbb{N}}\lambda(A_n) [/mm] = [mm] \infty [/mm] $ und
[mm] $\lambda(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) [/mm] = [mm] \lambda(\emptyset) [/mm] = 0 $
Passt das so?
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Hallo
> Hi
>
> ich glaub der Tipp hilft mir:
>
> Wenn ich definiere:
> [mm]\Omega := (0,1)[/mm]
> [mm]\mathcal{A} := \mathcal{B}((0,1))[/mm]
> [mm]P := \lambda[/mm]
> (Lebesgue-Maß)
> [mm]A_n := (0, \frac{1}{n})[/mm]
>
> dann ist [mm]\sum_{n \in \mathbb{N}}\lambda(A_n) = \infty[/mm] und
>
> [mm]\lambda(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) = \lambda(\emptyset) = 0[/mm]
>
> Passt das so?
Ja, passt
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