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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Sa 28.12.2019 | | Autor: | Jellal |
Guten Abend,
ich stehe bei einer Aufgabe auf dem Schlauch.
Seien [mm] X_{n} [/mm] i.i.d. exponential-verteilt zu [mm] \lambda=0,5.
[/mm]
Zu zeigen: Almost surely ist [mm] limsup_{n}\frac{X_{n}}{log(n)}=2.
[/mm]
Hinweis: Betrachte Events [mm] A=\{X_{n}>2log(n) \text{ passiert unendlich oft} \}
[/mm]
und [mm] B=\{X_{n}>(2+\frac{2}{k})log(n) \text{ passiert unendlich oft\} \}.
[/mm]
In einer vorhergehenden Aufgabe habe ich bereits mit Borel-Cantelli gezeigt, dass P(A)=1 und P(B)=0 (for k>0).
Jetzt glaube ich aber, einen Widerspruch zu sehen.
P(A)=1 heisst doch, dass fuer unendlich viele n almost surely gilt: [mm] \frac{X_{n}}{log(n)}>2
[/mm]
Wie kann 2 dann der limsup sein?
vG.
Jellal
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Hiho,
fangen wir mal mit deiner letzten Frage an:
> Jetzt glaube ich aber, einen Widerspruch zu sehen.
> P(A)=1 heisst doch, dass fuer unendlich viele n almost
> surely gilt: [mm]\frac{X_{n}}{log(n)}>2[/mm]
> Wie kann 2 dann der limsup sein?
Also erst mal zur Formulierung: Der Satz
> P(A)=1 heisst doch, dass fuer unendlich viele n almost
> surely gilt: [mm]\frac{X_{n}}{log(n)}>2[/mm]
macht keinen Sinn. Du vergleichst hier Äpfel mit Birnen. Der Wert des Maßes hat nix mit deiner Frage zu tun. Es gilt auf A grundsätzlich, dass für unendlich viele n [mm]\frac{X_{n}}{log(n)}>2[/mm], egal welches Maß A hat. Das Maß ist eine Aussage über [mm] \Omega [/mm] und nicht über deine n.
Nun schubsen wir dich mal aus dem Wald:
Betrachten wir mal die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN} =\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Offensichtlich ist doch [mm] $a_n [/mm] > 0$ für alle n.... aber was ist denn der [mm] $\limsup [/mm] $?
Die Menge A liefert dir also eine Abschätzung für den Limsup (welche?), die Menge B ebenso (welche?), nun pack das zusammen und du erhältst dein Ergebnis!
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 29.12.2019 | | Autor: | Jellal |
Hallo Gono,
vielen Dank fuer deine Antwort!
Erst mal sehe ich an deinem abschliessenden Beispiel, dass ich die Definition des limes superior verbockt habe: Ist Z limes superior einer Folge, so muessen nicht fast alle Folgenglieder kleiner als Z sein, sondern kleiner als Z plus irgendein [mm] \epsilon.
[/mm]
Deine Kritik an meinem Satz verstehe ich aber nicht so ganz.
Ich versuche es nochmal:
P(A)=1 bedeutet: Mit Sicherheit sind unendlich viele Folgenglieder groesser als 2.
P(B)=0 bedeutet: Mit Sicherheit sind wenn ueberhaupt nur endlich viele Folgenglieder groesser als [mm] 2+\epsilon.
[/mm]
Die erste Aussage gibt, dass der limsup mindestens 2 sein muss. Wenn er kleiner waere, waere das ein Widerspruch zu der ersten Aussage. Die zeite Aussage gibt dann, dass er maximal 2 sein kann, da der limsup die kleinste Zahl b ist fuer die gilt, dass fast alle Folgenglieder kleiner als [mm] b+\epsilon [/mm] sind.
vG.
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Hiho,
> Erst mal sehe ich an deinem abschliessenden Beispiel, dass
> ich die Definition des limes superior verbockt habe: Ist Z
> limes superior einer Folge, so muessen nicht fast alle
> Folgenglieder kleiner als Z sein, sondern kleiner als Z
> plus irgendein [mm]\epsilon.[/mm]
Du denkst bei [mm] $\limsup$ [/mm] also an den grössten Häufungspunkt (was er ja auch ist), ich denke bei [mm] $\limsup$ [/mm] aber eher den grössten Grenzwert aller konvergenten Teilfolgen.
Das hat den Vorteil, das der [mm] $\limsup$ [/mm] eben auch "nur" ein Grenzwert ist, (schließlich gilt im Konvergenzfall ja auch [mm] $\limsup [/mm] = [mm] \liminf [/mm] = [mm] \lim$) [/mm] und sich alle Rechenregeln auf diesen Übertragen, die der normale Grenzwert auch hat.
> Deine Kritik an meinem Satz verstehe ich aber nicht so ganz.
> Ich versuche es nochmal:
> P(A)=1 bedeutet: Mit Sicherheit sind unendlich viele
> Folgenglieder groesser als 2.
Ja.
> P(B)=0 bedeutet: Mit Sicherheit sind wenn ueberhaupt nur
> endlich viele Folgenglieder groesser als [mm]2+\epsilon.[/mm]
Ja.
> Die erste Aussage gibt, dass der limsup mindestens 2 sein
> muss. Wenn er kleiner waere, waere das ein Widerspruch zu
> der ersten Aussage. Die zeite Aussage gibt dann, dass er
> maximal 2 sein kann, da der limsup die kleinste Zahl b ist
> fuer die gilt, dass fast alle Folgenglieder kleiner als
> [mm]b+\epsilon[/mm] sind.
Ja
Das hattest du so aber gar nicht geschrieben. Deine Aussage war:
> P(A)=1 heisst doch, dass fuer unendlich viele n almost surely gilt: $ [mm] \frac{X_{n}}{log(n)}>2 [/mm] $
> Wie kann 2 dann der limsup sein?
Deine Verwirrung war ja: Wie kann der [mm] $\limsup$ [/mm] gleich 2 sein, wenn alle Folgenglieder grösser als 2 sind. Diese Frage hängt aber in keiner Weise von P(A) ab. Die Frage hätte sich genauso gestellt, wenn $P(A) = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] gegolten und die Aufgabe entsprechend "Zeigen Sie, dass mit WKeit 0,5 gilt...." gelautet hätte.
Das meinte ich mit: Deine Frage ist völlig unabhängig von $P(A) = 1$
D.h. deine Formulierung (reduziert aufs Wesentliche)
> > P(A)=1 heisst doch [...]
> Wie kann 2 dann der limsup sein?
macht keinen Sinn, weil die beiden Fakten eigentlich nicht zusammenhängen und sich auf unterschiedliche Eigenschaften beziehen. Das P nämlich auf die [mm] \omega [/mm] und der [mm] \limsup [/mm] aufs [mm] $n\in\IN$. [/mm] Das ist ja gerade die Stärke von Borell-Cantelli: Es werden zwei eigentlich unabhängige Dinge miteinander verknüpft.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 So 29.12.2019 | | Autor: | Jellal |
Ich verstehe,
danke dir!!
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