Borel messbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Sa 06.03.2010 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | Zeigen Sie [mm] f(x,y)=\chi_{[0,\infty)}(x)\wurzel{x}e^{-x^2y^2}\bruch{x+y^2}{1+x+y^2} [/mm] Borel messbar.
Beweisen Sie, dass [mm] f\not\in L^1(\IR^2,\lambda) [/mm] |
Hallo!!
In ein paar Wochen schreiben wir Ana 3 Klausur und ich will als Übung die Aufgabe machen. Folgendes habe ich mir überlegt:
zu Borelmessbarkeit: die Funktion ist stetig, weil [mm] 1+x+y^2\not=0 [/mm] und [mm] x\in[0,\infty), [/mm] also ist f dann auch Borel. Kann ich das so beweisen? Wenn nicht, wie kann man hier anders vorgehen?
zu [mm] f\not\in L^1(\IR^2,\lambda) [/mm]
hier muss ich zeigen, dass [mm] \integral {\wurzel{x}e^{-x^2y^2}\bruch{x+y^2}{1+x+y^2}} [/mm] unendlich ist, also [mm] \integral^{\infty}_{-\infty}{\integral^{\infty}_{0}{\wurzel{x}e^{-x^2y^2}\bruch{x+y^2}{1+x+y^2}}}dxdy=\infty [/mm] Aber mein Problem dabei ist, ich kann die Stammfunktionen nur einzelner Teile bestimmen, nicht der gesamten Funktion.
Könnte mir vielleichen jemand helfen?
Vielen Dank im Voraus.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
Wenn ihr schon bewiesen habt, das aus der Stetigkeit die Borel-Messbarkeit folgt, dann reicht deine Argumentation aus.
Zu dem Zweiten: Hier musst du wohl einfach passend abschätzen.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Sa 06.03.2010 | | Autor: | math101 |
Vielen-vielen Dank für deine Antwort!!!
> Wenn ihr schon bewiesen habt, das aus der Stetigkeit die
> Borel-Messbarkeit folgt, dann reicht deine Argumentation
> aus.
Ja das haben wir schon bewiesen.
> Zu dem Zweiten: Hier musst du wohl einfach passend
> abschätzen.
Aber das Inegral ist so riesen groß mit welcher Funktion kann ich das dann abschätzen??
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Es ist
[mm] f(x,y)= \chi_{[0,\infty)}(x) \wurzel{x} exp(-x^2*y^2)- \chi_{[0,\infty)}(x)\bruch{\wurzel{x}}{1+x+y^2}exp(-x^2*y^2) [/mm]
Damit ist die Funktion in ihren positiven und ihren negativen Anteil zerlegt. Zeige jetzt, dass der positive Anteil nicht integrierbar ist, damit ist dann auch f nicht integrierbar.
Grüße,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Sa 06.03.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo!! Danke schön für deine schnelle Antwort!!!
> Es ist
> [mm]f(x,y)= \chi_{[0,\infty)}(x) \wurzel{x} exp(-x^2*y^2)- \chi_{[0,\infty)}(x)\bruch{\wurzel{x}}{1+x+y^2}exp(-x^2*y^2)[/mm]
>
> Damit ist die Funktion in ihren positiven und ihren
> negativen Anteil zerlegt. Zeige jetzt, dass der positive
> Anteil nicht integrierbar ist, damit ist dann auch f nicht
> integrierbar.
Also an der Stelle habe ich einfach zuerst das Inegral berechnet
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2y^2}\wurzel(x)dy=\wurzel{\bruch{\pi}{x}} [/mm] und dann [mm] \integral^{\infty}_{0}{\wurzel{\bruch{\pi}{x}}}dx=\wurzel{\pi}(2\wurzel{\infty}-2\wurzel{0})=\infty
[/mm]
Also gilt dann [mm] f\not\in L^1(\IR^2,\lambda)
[/mm]
Vielen Dank für Hilfe!!!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Doing |
Ja das ist so schon ganz richtig. Allerdings solltest du das vielleicht noch ein wenig ausführen, also zumindest den Satz von Fubini mal erwähnen.
Im Prinzip ist das was du da machst ein indirekter Beweis, da der Satz von Fubini die Integrierbarkeit vorraussetzt. Wie gesagt, den Gedankengang vielleicht etwas mehr kommentieren.
Gruß,
Doing
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Sa 06.03.2010 | | Autor: | math101 |
Ok!!! Vielen-vielen Danke!!!!:))))
Gruß
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