Brownsche Bewegung und Itô < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:45 Fr 25.11.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo Forum
Ich habe einen Typ von Aufgabe, die ich nicht lösen kann.
Nehmen wir an, ich habe irgendeinen stochastischen Prozess gegeben, z.b.
$ [mm] X_t:=W_t^3 [/mm] +t$.
wobei $ [mm] W_t [/mm] $ eine Brownsche Bewegung ist. Jetzt ist die Frage ob dies ein Martingal sei (die SOLL mit Itô's Formel überprüft werden.
Mein Gedanke war, folgender: Ich weiss, dass das stochastische Integral (unter gewissen Voraussetzungen, die bei einer Brownschen Bewegung erfüllt sind) ein Martingal ist. Also wollte ich versuchen, dass
$\ [mm] \integral_0^t{ W_s dW_s} [/mm] = [mm] W_t^3 [/mm] +t $ zu schreiben, womit die rechte Seite auch wieder ein Martingal ist. Im Integrand kann natürlich auch ein anderes Martingal stehen (z.b. $ [mm] W_t^2-t [/mm] $ ) etc.
Dazu hätte ich jetzt oben angesetzt:
$ f(x,t):= [mm] x^3-t [/mm] $
und dann halt Itô angewendet:
$ [mm] f_x [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm] $, [mm] $f_t=-1$, [/mm] $ [mm] f_{xx}=6x [/mm] $
Die anderen Terme sind 0, weil, $t $ eine stetige und wachsende Funktion ist, und somit endliche Variation hat und ihre quadratische Variation verschwindet.
eingesetzt ergibt das:
$ [mm] dX_t=f_x(W_t,t)dW_t+f_t(W_t,t)dt [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}f_{xx}(W_t,t)d_t=3W_t^2dW_t-dt+\bruch{1}{2}6W_tdt$
[/mm]
Nun weiss ich nicht wirklich weiter. Vielleicht ist mein Ansatz auch komplett falsch? Hilfe wäre auf jedenfall super!
mfg
kalOR
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 26.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
