Bruchterm vereinfachen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Vereinfache folgenden Bruch soweit wie möglich:
[mm] \bruch{x^{3}(1 + x^{2} +\wurzel{x^{2} + 1}}{(x^{4} + x^{2})(1 + \wurzel{x^{2} + 1})} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bin neu hier und habe auch direkt eine Frage, die mich hierher getrieben hat. Ich habe diese Frage nur hier gestellt.
Man soll den Bruchterm wie oben angegeben vereinfachen. Laut vorhandener Musterlösung soll [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^{2} + 1 }} [/mm] rauskommen. Ich komme aber einfach nicht hin.
Ich hab versucht alles auszumultiplizieren, um eventuell anders ausklammern zu können. Ich habe versucht das [mm] x^{3} [/mm] aus dem Zähler zu nehmen und auf einen eigenen Bruchstrich geschrieben bzw. einfach "davor" gezogen um dann eventuell besser/anders ausklammern zu können, es tut sich aber einfach nichts - ich komm nicht hin.
Kann mir hier vielleicht jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mi 05.08.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Klammere mal aus der ersten Klammer im Nenner [mm] x^2 [/mm] aus, dann kannst du das schonmal kürzen.
Wenn ich das dann richtig sehe, solltest du den Rest dann ducht ausmultiplizieren hinbekommen.
Marius
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Hi,
das habe ich auch schonmal versucht  . Dann habe ich:
[mm] \bruch{x^{3}(1 + x^{2} +\wurzel{x^{2} + 1}}{(x^{4} + x^{2})(1 + \wurzel{x^{2} + 1})}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{x(1 + x^{2} +\wurzel{x^{2} + 1}}{(x^{2} + 1)(1 + \wurzel{x^{2} + 1})}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{x + x^{3} +x\wurzel{x^{2} + 1}}{x^{2}\wurzel{x^{2} + 1} + x^{2} + \wurzel{x^{2} + 1} + 1}
[/mm]
Problem ist ja jetzt, das ich nicht weiter kürzen kann. :-/ oder ich sehe es nicht
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Hallo,
ja klar, Du hast recht, die Klammer fehlt da natürlich am ende des Zählers!
kennst Du Wolframalpha?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=simplify+%28%28x%5E3+%281+%2B+x%5E2+%2B+Sqrt%5B1+%2B+x%5E2%5D%29%29%2F%28%28x%5E2+%2B+x%5E4%29+%281+%2B+Sqrt%5B1+%2B+x%5E2%5D%29%29%29
Das sagt, es würde das gleiche rauskommen, wie die Musterlösung sagt :-/
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Hallo abinator,
ja, wir kennen hier wohl alle wolframalpha. Ein gutes Werkzeug, wenn man Zeit sparen will, ein Brett vor dem Kopf hat oder man schlicht etwas überprüfen will. Aber es hilft (wie alle Werkzeuge) nur, wenn man es auch ohne diese Hilfe hinbekommt. Also suchen wir mal nach dem Weg, wie man zum angegebenen Ergebnis kommt.
Wir vereinfachen also [mm] \bruch{x^{3}(1+x^{2}+\wurzel{x^{2}+1})}{(x^{4}+x^{2})(1+\wurzel{x^{2}+1})}=\cdots
[/mm]
[mm] \cdots=\bruch{x^3((\wurzel{x^2+1})^2+\wurzel{x^2+1})}{x^2(\wurzel{x^2+1})^2(1+\wurzel{x^2+1})}=\cdots
[/mm]
Zwischendurch: ich bin schreibfaul. Hier kannst Du Dir die geschweiften Klammern um hochgestellte oder tiefgestellte Zeichen genau dann sparen, wenn die Hoch- oder Tiefstellung nur ein Zeichen betrifft: [mm] e^x, a^5, p_i [/mm] usw.
Außerdem ersetze ich mal [mm] z:=\wurzel{x^2+1}, [/mm] wo das gerade praktisch ist. Es können von mir aus also ruhig noch irgendwo irgendwelche "$x$" stehenbleiben. Um die kann ich mich noch später kümmern. Auch das ist erstmal nur eine Schreiberleichterung. Also weiter:
[mm] \cdots=\bruch{x^3(z^2+z)}{x^2z^2(1+z)}=\cdots
[/mm]
Jetzt ist der Weg bis zu [mm] \cdots=\bruch{x}{z} [/mm] nicht weit.
Zum Schluss ersetzt Du dann wieder $z$.
Hilft das?
Grüße
reverend
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wow, ich bin begeistert, sehr clever - wäre ich niemals darauf gekommen.
natürlich leuchtet das auch ein, aber nicht gerade trivial.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mi 05.08.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Vereinfache folgenden Bruch soweit wie möglich:
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> [mm]\bruch{x^{3}(1 + x^{2} +\wurzel{x^{2} + 1}}{(x^{4} + x^{2})(1 + \wurzel{x^{2} + 1})}[/mm]
>
Hier ein alternativer Lösungsvorschlag, bei dem ich bereits vom durch [mm] $x^2$ [/mm] gekürzten Term ausgehe:
[mm]\bruch{x\cdot(1 + x^{2} +\wurzel{x^{2} + 1})}{(x^{2} + 1)(1 +\wurzel{x^{2} + 1})}=\frac{x\cdot(1 + x^{2} +\wurzel{x^{2} + 1})}{\wurzel{x^{2} + 1}\cdot \wurzel{x^{2} + 1}\cdot (1 +\wurzel{x^{2} + 1})}[/mm]
Jetzt multipliziere eine der beiden neu geschaffenen Wurzeln im Nenner in die letzte Klammer hinein und freu dich dann, dass du eine Menge kürzen kannst.
Gruß RMix
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