Bruchungleichung lösen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Do 07.05.2009 | | Autor: | bla234 |
Ich habe ziemliche Probleme mit einer Bruchungleichung:
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
|x-4|/0,5x < 6
Ich habe angefangen und die Ungleichung mit 0,5x multipliziert. Dann bekomme ich doch 4 Fälle. Denn der Betrag kann positiv oder negativ sein oder das 0,5x.
-x+4>6(-0,5x), x<4 und x <0
-x+4<6(0,5x), x<4 und x >0
x-4>6(-0,5x) x>=4 und x<0
x-4<6(0,5x), x>=4 und x>0
Rechne ich das jetzt zu ende bekomme ich folgende Lösungsmengen:
x>-2, x<4, x<0 L=]-2,0[
x<1, x<4, x>0 L=]0;1[
x>1, x>=4, x>0 L= nichts
x>-2,x>=4, x>0 L=]-2; undendlich[
in der Lösung vom Buch kommt raus ]-undendlich;0[u]1;unendlich[
Irgendwo muss ich einen grundsätzlichen Denkansatz-Fehler haben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Do 07.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Meinst du
[mm] \bruch{|x-4|}{0,5x}<6 [/mm] ?
Hier gibt es erstmal die Fallunterscheidung im Betrag zu machen, also
x-4>0
[mm] \gdw [/mm] x>4
Sowie x-4<0
[mm] \gdw [/mm] x<4
X=4 ist ja nicht definiert.
Fang nun mit Fall1 x>4 an.
$ [mm] \bruch{|x-4|}{0,5x}<6 [/mm] $
$ [mm] \gdw \bruch{x-4}{0,5x}<6 [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] x-4<12x $
$ [mm] \gdw [/mm] -4<11x $
$ [mm] \gdw -\bruch{4}{11}
Beachte aber, dass in der Voraussetzung x>4 war, also ist [mm] \IL_{\red{1}}=\{x>4\}\cap\{x>\bruch{-4}{11}\}=\{x>4\}
[/mm]
Nun Fall2: x<4
$ [mm] \bruch{|x-4|}{0,5x}<6 [/mm] $
$ [mm] \gdw \bruch{-(x-4)}{0,5x}<6 [/mm] $
$ [mm] \gdw \bruch{4-x}{0,5x}<6 [/mm] $
Wenn du jetzt mit 0,5x multiplizierst, musst du noch zwei Fälle beachten, 0,5x>0 und 0,5x<0 (aber jeweils noch x<4)
Also Fall2.1 0<x<4
$ [mm] \bruch{4-x}{0,5x}<6 [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] 4-x<12x $
$ [mm] \gdw [/mm] 4<13x $
$ [mm] \gdw \bruch{4}{13}
Also [mm] \IL_{\blue{2.1}}=\ldots
[/mm]
Also Fall2.2 x<0
$ [mm] \bruch{4-x}{0,5x}<6 [/mm] $
$ [mm] \gdw 4-x\red{>}12x [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] 4>13x $
$ [mm] \gdw \bruch{4}{13}>x [/mm] $
Also [mm] \IL_{\blue{2.2}}=\ldots
[/mm]
Für die Gesamtlösung gilt nun [mm] \IL=\IL_{1}\cup\IL_{2.1}\cup\IL_{2.2}
[/mm]
Marius
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Hallo Marius,
> Hallo
>
> Meinst du
>
> [mm]\bruch{|x-4|}{0,5x}<6[/mm] ?
>
> Hier gibt es erstmal die Fallunterscheidung im Betrag zu
> machen, also
>
> x-4>0
> [mm]\gdw[/mm] x>4
>
> Sowie x-4<0
> [mm]\gdw[/mm] x<4
>
> X=4 ist ja nicht definiert.
Wieso nicht? Die Ausgangsungleichung ist doch nur für x=0 nicht definiert
Für x=4 hast du 0<6, was ja auch offensichtlich stimmt
Fall 1 ist also [mm] $x\green{\ge} [/mm] 4$ ...
>
> Fang nun mit Fall1 x>4 an.
> [mm]\bruch{|x-4|}{0,5x}<6[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{x-4}{0,5x}<6[/mm]
> [mm]\gdw x-4<12x[/mm]
> [mm]\gdw -4<11x[/mm]
> [mm]\gdw -\bruch{4}{11}
>
> Beachte aber, dass in der Voraussetzung [mm] x\green{\ge}4 [/mm] war, also ist
> [mm]\IL_{\red{1}}=\{x\green{\ge}4\}\cap\{x>\bruch{-4}{11}\}=\{x\green{\ge}4\}[/mm]
>
> Nun Fall2: x<4
> [mm]\bruch{|x-4|}{0,5x}<6[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{-(x-4)}{0,5x}<6[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{4-x}{0,5x}<6[/mm]
>
> Wenn du jetzt mit 0,5x multiplizierst, musst du noch zwei
> Fälle beachten, 0,5x>0 und 0,5x<0 (aber jeweils noch x<4)
>
> Also Fall2.1 0<x<4
>
> [mm]\bruch{4-x}{0,5x}<6[/mm]
> [mm]\gdw 4-x<12x[/mm]
> [mm]\gdw 4<13x[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{4}{13}
>
> Also [mm]\IL_{\blue{2.1}}=\ldots[/mm]
>
> Also Fall2.2 x<0
>
> [mm]\bruch{4-x}{0,5x}<6[/mm]
> [mm]\gdw 4-x\red{>}12x[/mm]
> [mm]\gdw 4>13x[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{4}{13}>x[/mm]
>
> Also [mm]\IL_{\blue{2.2}}=\ldots[/mm]
>
>
> Für die Gesamtlösung gilt nun
> [mm]\IL=\IL_{1}\cup\IL_{2.1}\cup\IL_{2.2}[/mm]
>
> Marius
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Do 07.05.2009 | | Autor: | bla234 |
Entschuldigt, aber wenn ich 6 mit 0,5x multipliziere kommt doch 3x raus oder?
den schritt 6 multizpliziert mit 0,5x = 12x verstehe ich nicht ganz
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Hallo, du hast natürlich Recht, schachuzipus hat versehentlich mit 2 gerechnet, 0,5x*6=3x, Steffi
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Hallo Steffi,
> Hallo, du hast natürlich Recht, schachuzipus hat
> versehentlich mit 2 gerechnet,
ich habe gar nicht gerechnet, faul wie ich bin, habe lediglich die > aus Fall 1 in [mm] \ge [/mm] geändert 
> 0,5x*6=3x, Steffi
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Do 07.05.2009 | | Autor: | bla234 |
ok wenn ich das jetzt durchrechne kommt raus:
1. Fall
Bedingung x-4>0 dh. x>4
x-4/0,5x < 6 | *0,5x
x-4 < 3x
x>-2
[mm] L=]4;\infty[ [/mm]
2.1 Fall
Bedingung 0<x<4
4-x < 3x
-4x<-4
x>1
L=]1;4[
2.2 Fall
Bedingung x<0 x<4
4-x>3x
-4x>-4
x<1
L= [mm] ]-\infty; [/mm] 0[
kann das sein?
Entschuldigt ich checke auch noch nicht, warum ich nur im zweiten Fall zwischen 0,5x<0 oder 0,5x>0 eine Fallunterscheidung machen muss.
Seht ihr noch eine Fehler. Ihr habt mich schon sehr weitergebracht. vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Do 07.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn x>4 ist, gilt doch automatisch x>0 deshalb muss man das nicht extra hinschreiben, schadet ja aber auch nicht.
also musst du nur bei x< 4 unterscheiden ob x>0 oder <0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Do 07.05.2009 | | Autor: | bla234 |
Irgendwie komme ich nicht ganz klar:
Folgende Aufgabe:
[mm] $\bruch{|3x-5|}{2x}<4$
[/mm]
1. Fall
$3x-5>=0$ dh. [mm] $x>\bruch{5}{3}$
[/mm]
$3x-5<=8x$
$-5<=5x$
$-1<=x$
L= [mm] [\bruch{5}{3};\infty[
[/mm]
2. Fall
$3x-5<0$ dh. [mm] $x<\bruch{5}{3}$ [/mm] und $x>0$
$-3x+5<8x$
$5<11x$
[mm] $\bruch{5}{11}$
L= [mm] ]0;$\bruch{5}{11}$[
[/mm]
3. Fall
$3x-5<0$ dh. [mm] $x<\bruch{5}{3}$ [/mm] und $x<0$
$-3x+5>8x$
$5>11x$
[mm] $\bruch{5}{11}$>x$
[/mm]
L= [mm] ]-\infty;$0$[
[/mm]
Lösung sagt folgendes: L= [mm] [-\infty;$0$[ [/mm] u [mm] ]\bruch{5}{11};\infty[
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Do 07.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich finde im Moment keinen Fehler. Die Teillösungen der Fälle sind korrekt.
P.S: Sorry für den Groben Rechenfehler in meiner ersten Antwort.
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:23 Do 07.05.2009 | | Autor: | bla234 |
heißt das, dass die Lösungen im Buch nicht stimmen?
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Hallo bla!
> [mm]$\bruch{5}{11}$
>
> L= ]0;[mm]\bruch{5}{11}[/mm][
Richtig gerechnet. Aber diese Teillösungsmenge muss lauten:
[mm] $$\IL_2 [/mm] \ = \ [mm] \left] \ \bruch{5}{11};+\infty\right[$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Do 07.05.2009 | | Autor: | bla234 |
Selbstkorrektur
L2=]5/11;5/3[ muss jetzt zur mathe arbeit :D
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