Buffon's Needle < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Leon81 |
Hallo liebe Leute.
Ich sitze hier an der Aufgabe Buffon's Needle. Es geht dabei um eine gemeinsame Verteilung von X (das ist der Abstand vom Mittelpunkte der Nadel zum Rand eines Brettes) [mm] \Theta [/mm] sei der Winkel um den Mittelpunkt der Nadel, welcher denkbar wäre.
So würde sich ja folgendes ergeben:
0 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 1/2, weil das Brett die Breite 1 hat
und
0 [mm] \le \Theta \le \pi, [/mm] weil nach 180° Drehung um den Mittelpunkt man eine Invarianz der Nadel hat
Nun ist klar, dass wenn ich die Nadel werfe, alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich ist. Ich komme also, wenn ich die beiden Verteilungen unabhängig voneinander betrachte auf:
[mm] {g(x)}=\bruch{1}{1/2}=2
[/mm]
und
[mm] {h(\theta)}=\bruch{1}{\pi}
[/mm]
Mit welcher Begründung ist dann die gemeinsame Verteilung:
[mm] {f(x,\theta)}=\bruch{2}{\pi}???
[/mm]
Ich meine warum kann ich die Verteilungen einfach multiplizieren? Bitte etwas ausführlicher.
Vielen herzlichen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Do 05.01.2012 | | Autor: | tae_eat |
Hey Leon,
man geht dabei davon aus, dass Winkel und Abstand unabhängig voneinander sind, d.h. der Winkel hat keinen Einfluss auf den Abstand und anders herum. Nun gilt für die gemeinsame Dichte unabhängiger Zufallsvariablen gerade, dass diese dem Produkt der einzeldichten entspricht. Also [mm] X_1,...,X_n [/mm] unabhänige ZV mit Dichten [mm] f_1,...,f_n, [/mm] dann gilt für die Dichte des Vektors [mm] (X_1,...,X_n), [/mm] also für die gemeinsame Dichte f, dass
[mm] f(x_1,...,x_n)=\prod_{i=1}^nf_i(x_i).
[/mm]
grüße tae
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Do 05.01.2012 | | Autor: | Leon81 |
Hey.
Ich danke herzlichst für die schnelle Hilfe.
Könntest du mir ein Buch empfehlen, wo ich das nachlesen kann?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ein Klassiker, den es immer noch gibt und der dies auch gut beschreibt, ist der Papoulis:
Athaniosos Papoulis: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes bei McGraw Hill.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Leon81 |
Herzlichsten Dank.
Alle Fragen sind geklärt.
LG.
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