CP und Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei C [mm] \in \IR^4 [/mm] mit [mm] c_{ij} [/mm] = i*j.
Zeige: Das Charakteristische Polynom ist CP(C) = [mm] x^{3} [/mm] (x-30) und weiterhin, dass C diagonalisierbar ist. |
Hallo an alle Leser.
Ich stecke in der Klausurvorbereitung und möchte gerne diese Aufgabe lösen und verstehen.
Erst einmal sieht die Matrix C wie folgt aus: C = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ 4 & 8 & 12 &16 }.
[/mm]
So nun möchte ich das charakteristische Polynom berechnen anhand der üblichen Formel: CP (C) = det ( C - [mm] \lambda I_n [/mm] ) = 0 mit [mm] I_n [/mm] = Einheitsmatrix des [mm] \IR^4.
[/mm]
Also: CP (C) = det [mm] \pmat{ 1-\lambda & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4-\lambda & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9-\lambda & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16-\lambda }.
[/mm]
Jetzt komme ich zu meiner Frage: um diese Determinante zu berechnen würde ich gerne wie folgt vorgehen, nun weiß ich nicht ob man dies darf, wobei mir kein Grund einfällt, wieso ich dies nicht dürfte!?:
Vorab bringe ich die Matrix mit dem Gaus-Algorithmus in eine angenehmere Form: Zum Beispiel addiere ich zu der zweiten Zeile das (-2)-fache der ersten Zeile, wodurch die Matrix nun folgende Gestalt hätte:
[mm] \pmat{ 1-\lambda & 2 & 3 & 4 \\ 2\lambda & -\lambda & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 9-\lambda & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16-\lambda }
[/mm]
Diese Rechenoperation lässt zudem die Determinante invariant. Nun würde ich den Laplace´schen Entwicklungssatz anwenden und nach der zweiten Zeile entwickeln (evtl. könnte man die Matrix noch weiter vereinfachen, aber es geht mir nur um die Vorgehensweise).
Ist eine solche Berechnung dieser Determinante möglich?
Wenn man dies dann alles ausgerechnet hat, ist die Frage nach der Diagonalisierbarkeit recht schnell beantwortet, da ich entweder eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] aus Eigenvektoren aufbauen kann oder man die äquivalente Bedingung erhält, dass die algebraische - = der geometrischen Vielfachheit ist und das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerlegt ist.
Ich hoffe auf eine Antwort und mit freundlichen Grüßen,
Roughi
Edit: Es geht mir speziell darum herauszufinden, ob man erst mit dem Gaus-Algorithmus die Matrix vereinfachen kann um anschließend nach Sarrus, Laplace,..., Determinanten berechnen kann/darf.
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei C [mm]\in \IR^4[/mm] mit [mm]c_{ij}[/mm] = i*j.
>
> Zeige: Das Charakteristische Polynom ist CP(C) = [mm]x^{3}[/mm]
> (x-30) und weiterhin, dass C diagonalisierbar ist.
>
>
> Hallo an alle Leser.
>
> Ich stecke in der Klausurvorbereitung und möchte gerne
> diese Aufgabe lösen und verstehen.
>
> Erst einmal sieht die Matrix C wie folgt aus: C = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 6 & 8 \\
3 & 6 & 9 & 12 \\
4 & 8 & 12 &16 }.[/mm]
>
> So nun möchte ich das charakteristische Polynom berechnen
> anhand der üblichen Formel: CP (C) = det ( C - [mm]\lambda I_n[/mm]
> ) = 0 mit [mm]I_n[/mm] = Einheitsmatrix des [mm]\IR^4.[/mm]
>
> Also: CP (C) = det [mm]\pmat{ 1-\lambda & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4-\lambda & 6 & 8 \\
3 & 6 & 9-\lambda & 12 \\
4 & 8 & 12 & 16-\lambda }.[/mm]
>
> Jetzt komme ich zu meiner Frage: um diese Determinante zu
> berechnen würde ich gerne wie folgt vorgehen, nun weiß
> ich nicht ob man dies darf, wobei mir kein Grund einfällt,
> wieso ich dies nicht dürfte!?:
>
> Vorab bringe ich die Matrix mit dem Gaus-Algorithmus in
> eine angenehmere Form: Zum Beispiel addiere ich zu der
> zweiten Zeile das (-2)-fache der ersten Zeile, wodurch die
> Matrix nun folgende Gestalt hätte:
>
> [mm]\pmat{ 1-\lambda & 2 & 3 & 4 \\
2\lambda & -\lambda & 0 & 0 \\
3 & 6 & 9-\lambda & 12 \\
4 & 8 & 12 & 16-\lambda }[/mm]
>
> Diese Rechenoperation lässt zudem die Determinante
> invariant. Nun würde ich den Laplace´schen
> Entwicklungssatz anwenden und nach der zweiten Zeile
> entwickeln (evtl. könnte man die Matrix noch weiter
> vereinfachen, aber es geht mir nur um die Vorgehensweise).
>
> Ist eine solche Berechnung dieser Determinante möglich?
>
> Wenn man dies dann alles ausgerechnet hat, ist die Frage
> nach der Diagonalisierbarkeit recht schnell beantwortet, da
> ich entweder eine Basis des [mm]\IR^4[/mm] aus Eigenvektoren
> aufbauen kann oder man die äquivalente Bedingung erhält,
> dass die algebraische - = der geometrischen Vielfachheit
> ist und das charakteristische Polynom in Linearfaktoren
> zerlegt ist.
>
> Ich hoffe auf eine Antwort und mit freundlichen Grüßen,
> Roughi
>
> Edit: Es geht mir speziell darum herauszufinden, ob man
> erst mit dem Gaus-Algorithmus die Matrix vereinfachen kann
> um anschließend nach Sarrus, Laplace,..., Determinanten
> berechnen kann/darf.
Das kommt ja immer drauf an, was man unter 'Gauß-Algorithmus' versteht. Sobald man Zeilen multipliziert, ändert sich die Determinante. Du hast hier jedoch das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addiert (-2-mal Z1 + Z2), das lässt die Determinante natürlich invariant.
Das Resultat ist doch schon ziemlich gut für Laplace: zwei Einträge in der 2. Zeile gleich Null: denn man tau (also das bedeutet: dein Weg ist richtig.  )
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Fr 15.02.2013 | | Autor: | RoughNeck |
Alles klar super:)! Danke:)
|
|
|
|
