Cardanischen Formel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:33 Fr 18.02.2005 | | Autor: | neo2k |
Hi
Ich habe eine Frage zu der Entwicklung der Cardanischen Formel:
[mm] u^3 [/mm] + [mm] v^3 [/mm] = - q | quadrieren --> [mm] u^6 [/mm] + [mm] 2*u^3 [/mm] + [mm] v^6 [/mm] = [mm] q^2
[/mm]
u * v = - [mm] \bruch{p}{3} [/mm] | das vierfacher der 3. Potenz --> 4 [mm] *u^3 *v^3 [/mm] = - 4 * [mm] (\bruch{p}{3})^2
[/mm]
Nun verstehe ich den nächsten Schritt nicht:
[mm] (u^3- v^3)^3 [/mm] = [mm] q^2 [/mm] + [mm] 4*(\bruch{p}{3})^3 [/mm]
woher kann man das schließen?
Weiter im Gleichungssystem :
[mm] (u^3- v^3) [/mm] = [mm] \pm \wurzel{ q^2 + 4*(\bruch{p}{3})^3 } [/mm] wieso hier denn nur die Quadratwurzel?!?
das führt, laut Algebraduden,
[mm] u^3 [/mm] - [mm] v^3 [/mm] = [mm] \pm \wurzel{ q^2 + 4*(\bruch{p}{3})^3 }
[/mm]
[mm] u^3 [/mm] + [mm] v^3 [/mm] = - q
Den nächsten Schritt ist wieder ein Buch mit sieben Siegeln:
daraus kann man schließen, dass :
[mm] u^3 [/mm] = - [mm] \bruch{p}{2} \pm \wurzel{(\bruch{q}{2})^2 + 4*(\bruch{p}{3})^3 }
[/mm]
[mm] v^3 [/mm] = - [mm] \bruch{p}{2} \mp \wurzel{(\bruch{q}{2})^2 + 4*(\bruch{p}{3})^3 }
[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn ihr mich aufklären könntet, wo hier der "Trick" liegt.
Mit freundlichen Grüßen
Anmerkung: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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Hallo,
muß es nicht heißen:
[mm]\begin{gathered}
\left( {u^{3} \; - \;v^{3} } \right)^{2} \; = \;\left( {u^{3} \; + \;v^{3} } \right)^{2} \; - \;4\;u^{3} \;v^{3} \hfill \\
= \;q^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Das erklärt dann auch die Quadratwurzel:
[mm]\left( {u^{3} \; - \;v^{3} } \right)\; = \; \pm \sqrt {q^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p} {3}} \right)^{3} }[/mm]
Das Gleichungssystem
[mm]
\begin{gathered}
u^{3} \; - \;v^{3} \; = \; \pm \sqrt {q^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } \hfill \\
u^{3} \; + \;v^{3} \; = \; - q \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
aufgelöst nach [mm]u^{3}[/mm] bzw. [mm]v^{3}[/mm] ergibt:
[mm]\begin{gathered}
u^{3} \; = \; - \frac{q}
{2} \pm \sqrt {q^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } \hfill \\
v^3 \; = \; - \frac{q}
{2} \mp \sqrt {q^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Fr 18.02.2005 | | Autor: | neo2k |
Das Gleichungssystem
[mm]
\begin{gathered}
u^{3} \; - \;v^{3} \; = \; \pm \sqrt {q^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } \hfill \\
u^{3} \; + \;v^{3} \; = \; - q \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
aufgelöst nach [mm]u^{3}[/mm] bzw. [mm]v^{3}[/mm] ergibt:
[mm]\begin{gathered}
u^{3} \; = \; - \frac{q}
{2} \pm \sqrt {q^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } \hfill \\
v^3 \; = \; - \frac{q}
{2} \mp \sqrt {q^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Wie aufgelöst?!? Ich glaube ich habe ein Brett vor dem Kopf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Fr 18.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]
\begin{gathered}
u^{3} \; - \;v^{3} \; = \; \pm \sqrt {q^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } \hfill \\
u^{3} \; + \;v^{3} \; = \; - q \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Wenn du das Brett wegnimmst siehst du sicher , dass man die 2 Gleichungen einmal addieren muß, dann fällt [mm] v^{3} [/mm] weg, eimal subtrahieren dann fällt [mm] u^{3} [/mm] weg.
Gute Nacht leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Fr 18.02.2005 | | Autor: | neo2k |
Gut so in der Art war mir das irgendwo klar, jedoch wie entsteht dann -p/2 ?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Dude |
Hallo,
das p/2 kommt daher, da du nach der Addition auf der linken Seite eine 2 stehen hast.
Die Gleichung wird einfach durch 2 geteilt bzw unter der Wurzel durch [mm] 2^2
[/mm]
(1) [mm] u^3-v^3=\pm\wurzel{q^2+4\bruch{p}{3}^3}
[/mm]
(2) [mm] u^3+v^3=-p
[/mm]
(1+2) [mm] 2u^3=-p\pm\wurzel{q^2+4\bruch{p}{3}^3}
[/mm]
[mm] u^3=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{q}{2}^2+2\bruch{p}{3}^3}
[/mm]
OK, ich versuche es nochmal:
[mm] u^3-v^3=\pm\wurzel{q^2+4(\bruch{p}{3})^3}
[/mm]
[mm] u^3+v^3=-q
[/mm]
[mm] 2u^3=-q\pm\wurzel{q^2+4(\bruch{p}{3})^3}
[/mm]
[mm] u^3=-\bruch{q}{2}\pm\wurzel{(\bruch{q}{2})^2+(\bruch{p}{3})^3}
[/mm]
Vor der Wurzel steht q anstatt p und die 4 vor p/3 hat sich weggekürzt.
Ich komme auc nicht auf das Ergebnis wie es im ersten Beitrag stand, weiß auch nicht wo das p herkommen soll.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Sa 19.02.2005 | | Autor: | neo2k |
Muss es nicht
$ [mm] \begin{gathered} u^{3} \; = \; - \frac{q} {2} \pm \sqrt {(\bruch{q}{2})^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p} {3}} \right)^{3} } \hfill \\ v^3 \; = \; - \frac{q} {2} \mp \sqrt {(\bruch{q}{2})^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p} {3}} \right)^{3} } \hfill \\ \end{gathered} [/mm] $
heißen?!
Zumindest steht dies so in dem Auszug...
MfG
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Hallo,
da wurde doch der Faktor 2 bei der Auflösung des Gleichungssystems vergessen:
Es muss also heißen:
[mm]
\begin{gathered}
u^{3} \; = \; - \frac{q}
{2}\; \pm \;\frac{1}
{2}\;\sqrt {q^{2} \; + \;4\;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } \hfill \\
= \; - \frac{q}
{2}\; \pm \;\frac{1}
{2}\;\sqrt {4\;\left( {\frac{q}
{4}^{2} \; + \;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } \right)} \hfill \\
= \; - \frac{q}
{2}\; \pm \;\frac{1}
{2}\;2\;\sqrt {\left( {\frac{q}
{2}} \right)^{2} \; + \;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } \hfill \\
= \;\; - \frac{q}
{2}\; \pm \;\sqrt {\left( {\frac{q}
{2}} \right)^{2} \; + \;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Für [mm]v^{3}[/mm] gilt dann:
[mm]\[
v^{3} \; = \;\; - \frac{q}
{2}\; \mp \;\sqrt {\left( {\frac{q}
{2}} \right)^{2} \; + \;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3} } [/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Hier im Thread geht einiges durcheinander. Vermutlich ist bereits die Aussage im Buch falsch bezüglich $p$ und $q$ oder du hast es falsch abgeschrieben. Kannst du das bitte noch einmal überprüfen?
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Mo 21.02.2005 | | Autor: | neo2k |
Ich habe die angaben gerade kontrolliert: Sie sind 1 zu 1 abgeschrieben aus einer Formelsammlung...
Da hier so viele verschiedene Auffassungen vertreten werden, hoffe ich, dass einer die "rettende" Lösung kennt
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