Cauchy-Hauptwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Tanja26 |
| Aufgabe | | Existiert das folgende uneigentliche Cauchy-Haupwert-Integral?Wenn ja ,berechnen Sie den Wert |
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}(\bruch{1}{x^n})dx [/mm] für [mm] (n\in N_{0})
[/mm]
Meine Gedanke:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}( \bruch{1}{x^n})dx=\limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{-k}^{k}{\bruch{1}{x^n} dx}=\limes_{k\rightarrow\infty}(\integral_{-k}^{0}{\bruch{1}{x^n} dx}+\integral_{0}^{k}{\bruch{1}{x^n} dx})=\limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{-k^{1-n}}{1-n}+\bruch{k^{1-n}}{1-n})=0
[/mm]
Stimmt das???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
ein kleiner Vorzeichenfehler hat sich eingeschlichen.
$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}( \bruch{1}{x^n})dx=\limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{-k}^{k}{\bruch{1}{x^n} dx}=\limes_{k\rightarrow\infty}(\integral_{-k}^{0}{\bruch{1}{x^n} dx}+\integral_{0}^{k}{\bruch{1}{x^n} dx})=\limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{\red{(}-k\red{)}^{1-n}}{\red{-}1\red{+}n}+\bruch{k^{1-n}}{1-n})=0 [/mm] $
Das stimmt für [mm] $n\in\IN,n\geq [/mm] 2$. Betrachte die Fälle $n=0,n=1$ separat.
Stefan.
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