Cauchy- Folge < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] D\subset\IC, [/mm] und sei [mm] V=C^0_b(D,\IC) [/mm] der [mm] \IC- [/mm] Vektorraum der stetigen beschränkten Funktionen f: [mm] D\to\IC
[/mm]
(a) Zeige, dass V mit der von der Supremumsnorm [mm] ||.||_D [/mm] induzierten Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist.
(b) Sei [mm] D=[a,b]\subset\IR [/mm] und [mm] ||.||_1 [/mm] die durch [mm] ||f||_1:=\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] definierte Norm auf V. Ist V mit der induzierten Metrik vollständig?
Tipp: Betrachte [mm] f_n: [/mm] [0, [mm] 1]\to\IC, f_n=0 [/mm] auf [0, [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{1}{n}], f_n=1 [/mm] auf [mm] [\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}, [/mm] 1] und linear auf [mm] [\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n}, \bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}]; [/mm] zeige, dass [mm] (f_n)_n [/mm] eine cauchy Folge ist, die nicht konvergiert. Würde ein Grenzwert [mm] f\in\IV [/mm] existieren, so könnte man zeigen, dass f=0 auf [0, [mm] \bruch{1}{2}), [/mm] f=1 auf [mm] (\bruch{1}{2}, [/mm] 1], so dass f nicht stetig sein könnte. |
Hallo!
(a) Was genau bedeutet [mm] V=C^0_b(D,\IC). [/mm] Ist das eine allgemeine Notation, die jemandem bekannt vorkommt? Also das hier: [mm] C^0_b.
[/mm]
(b) Ich habe hier ein kleines Problem bei der Abschätzung:
Allgemein gilt ja für ein [mm] f_n: \integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}
[/mm]
Um zu zeigen, dass [mm] f_n [/mm] eine Cauchy- Folge ist, muss ich ja bezüglich der induzierten Metrik zeigen, dass der Abstand von [mm] f_n [/mm] und [mm] f_m [/mm] kleiner als ein vorgegebenes [mm] \epsilon [/mm] > 0 wird, für m,n > [mm] N(\epsilon).
[/mm]
[mm] ||f_n-f_m||_1=\integral_{0}^{1}{|f_n(x)-f_m(x)| dx}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}-(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{m})=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{m}<\bruch{1}{n}\le \bruch{1}{\bruch{1}{\epsilon}}=\epsilon
[/mm]
Wenn ich [mm] N(\epsilon)\le \bruch{1}{\epsilon} [/mm] wähle.
Aber der Schritt von [mm] \integral_{0}^{1}{|f_n(x)-f_m(x)| dx} [/mm] zu [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}-(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{m}) [/mm] ist problematisch.
Ich hab das nur geschrieben, weil man das geometrisch so sehen kann.
Richtig ausrechnen sieht aber anders aus. Ich wusste nur nicht wie, da ich für [mm] f_n(x) [/mm] und [mm] f_m(x) [/mm] ja nichts konkretes einsetzen kann, weil die ja stückweise definiert sind. Wie kann ich diesen Schritt denn sauber beschreiten?
Grüße, kulli
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Hiho,
> (a) Was genau bedeutet [mm]V=C^0_b(D,\IC).[/mm] Ist das eine
> allgemeine Notation, die jemandem bekannt vorkommt? Also
> das hier: [mm]C^0_b.[/mm]
Aufgabenstellung lesen hilft meistens:
> sei [mm]V=C^0_b(D,\IC)[/mm] der [mm]\IC-[/mm] Vektorraum
> der stetigen beschränkten Funktionen f: [mm]D\to\IC[/mm]
> Allgemein gilt ja für ein [mm]f_n: \integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}[/mm]
Also ich komm auf $1 - [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
> Um zu zeigen, dass [mm]f_n[/mm] eine Cauchy- Folge ist, muss ich ja
> bezüglich der induzierten Metrik zeigen, dass der Abstand
> von [mm]f_n[/mm] und [mm]f_m[/mm] kleiner als ein vorgegebenes [mm]\epsilon[/mm] > 0
> wird, für m,n > [mm]N(\epsilon).[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]||f_n-f_m||_1=\integral_{0}^{1}{|f_n(x)-f_m(x)| dx}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}-(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{m})=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{m}<\bruch{1}{n}\le \bruch{1}{\bruch{1}{\epsilon}}=\epsilon[/mm]
Wie kommst du auf deine zweite Abschätzung?
Offensichtlich gilt hier nicht [mm] $|f_n(x) [/mm] - [mm] f_m(x)| [/mm] = [mm] |f_n(x)| [/mm] - [mm] |f_m(x)|$
[/mm]
Du scheinst aber genau das gemacht zu haben.
> Aber der Schritt von [mm]\integral_{0}^{1}{|f_n(x)-f_m(x)| dx}[/mm]
> zu [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}-(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{m})[/mm]
> ist problematisch.
Erstmal: Ah, das hast du schon selbst erkannt.
> Ich hab das nur geschrieben, weil man das geometrisch so sehen kann.
Ach kann man?
Berechne doch erstmal korrekt [mm] $f_n [/mm] - [mm] f_m$, [/mm] das kann man direkt hinschreiben. Nimm dafür der Einfachheit halber [mm] $m\ge [/mm] n$ an und nutze die stückweise Definition von [mm] f_n [/mm] und [mm] f_m:
[/mm]
[mm] $f_n(x)=\begin{cases} 0 & x < \bruch{1}{2} - \bruch{1}{n} \\ \bruch{n}{2}*x & x\in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}, \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n}\right] \\ 1 & x > \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n} \end{cases}$
[/mm]
> Ich wusste nur nicht wie, da ich für [mm]f_n(x)[/mm] und [mm]f_m(x)[/mm] ja nichts konkretes einsetzen kann, weil die ja stückweise definiert sind.
Natürlich kannst du das. Indem du eben auch stückweise rechnest.
So schwer ist das nun auch wieder nicht.
MFG,
Gono.
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> Hiho,
Hi
> > (a) Was genau bedeutet [mm]V=C^0_b(D,\IC).[/mm] Ist das eine
> > allgemeine Notation, die jemandem bekannt vorkommt? Also
> > das hier: [mm]C^0_b.[/mm]
>
> Aufgabenstellung lesen hilft meistens:
>
> > sei [mm]V=C^0_b(D,\IC)[/mm] der [mm]\IC-[/mm] Vektorraum
> > der stetigen beschränkten Funktionen f: [mm]D\to\IC[/mm]
Ich dachte da ist vielleicht eine Zusatzinformation versteckt!
> > Allgemein gilt ja für ein [mm]f_n: \integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Also ich komm auf [mm]1 - \bruch{1}{n}[/mm]
>
> > Um zu zeigen, dass [mm]f_n[/mm] eine Cauchy- Folge ist, muss ich ja
> > bezüglich der induzierten Metrik zeigen, dass der Abstand
> > von [mm]f_n[/mm] und [mm]f_m[/mm] kleiner als ein vorgegebenes [mm]\epsilon[/mm] > 0
> > wird, für m,n > [mm]N(\epsilon).[/mm]
>
>
>
> >
> > [mm]||f_n-f_m||_1=\integral_{0}^{1}{|f_n(x)-f_m(x)| dx}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}-(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{m})=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{m}<\bruch{1}{n}\le \bruch{1}{\bruch{1}{\epsilon}}=\epsilon[/mm]
>
> Wie kommst du auf deine zweite Abschätzung?
> Offensichtlich gilt hier nicht [mm]|f_n(x) - f_m(x)| = |f_n(x)| - |f_m(x)|[/mm]
>
> Du scheinst aber genau das gemacht zu haben.
>
> > Aber der Schritt von [mm]\integral_{0}^{1}{|f_n(x)-f_m(x)| dx}[/mm]
> > zu [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}-(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{m})[/mm]
> > ist problematisch.
>
> Erstmal: Ah, das hast du schon selbst erkannt.
>
> > Ich hab das nur geschrieben, weil man das geometrisch so
> sehen kann.
>
> Ach kann man?
> Berechne doch erstmal korrekt [mm]f_n - f_m[/mm], das kann man
> direkt hinschreiben. Nimm dafür der Einfachheit halber
> [mm]m\ge n[/mm] an und nutze die stückweise Definition von [mm]f_n[/mm] und
> [mm]f_m:[/mm]
>
> [mm]f_n(x)=\begin{cases} 0 & x < \bruch{1}{2} - \bruch{1}{n} \\ \bruch{n}{2}*x & x\in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}, \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n}\right] \\ 1 & x > \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n} \end{cases}[/mm]
Bevor ich vorrechne eine Bemerkung: Ich habe den Teil des Intervalls missachtet, auf dem die Funktion linear sein soll.
In der Aufgabe ist nur von abgeschlossenen Intervallen die Rede. Schreibst du in deiner Stückweisen definition von [mm] f_n [/mm] "<" weil du davon ausgehst, dass der Aufgabensteller sich vertippt hat? Und wie kommst du auf [mm] "\bruch{nx}{2}? [/mm] Wenn die Funktion für [mm] x\in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}, \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n}\right] [/mm] so definiert sein soll, ist sie doch gar nicht mehr stetig, weil es von 0 auf [mm] \bruch{nx}{2} [/mm] einen Sprung gibt?
Bevor ich da keine Klarheit habe, brauch ich gar nicht erst den Stift in die Hand zu nehmen..
Wie kann man sich denn anschaulich vorstellen was mit der Linearität in besagtem Intervall gemeint ist? Das dort die Funktion in einer Gerade von 0 auf 1 ansteigt?
> > Ich wusste nur nicht wie, da ich für [mm]f_n(x)[/mm] und [mm]f_m(x)[/mm] ja
> nichts konkretes einsetzen kann, weil die ja stückweise
> definiert sind.
>
> Natürlich kannst du das. Indem du eben auch stückweise
> rechnest.
> So schwer ist das nun auch wieder nicht.
>
> MFG,
> Gono.
Danke vorerst, Grüße Kulli
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Hiho,
> In der Aufgabe ist nur von abgeschlossenen Intervallen die
> Rede. Schreibst du in deiner Stückweisen definition von
> [mm]f_n[/mm] "<" weil du davon ausgehst, dass der Aufgabensteller
> sich vertippt hat?
Nein, sondern weil die Funktion stetig ist und es dabei völlig egal ist, ob man < oder [mm] \le [/mm] schreibt (der Funktionswert an dieser Stelle ist dann eh gleich). Sauberer ist es allerdings, doppelte Definitionen zu vermeiden.
> Und wie kommst du auf [mm]"\bruch{nx}{2}?[/mm]
Dazu vorweg deine andere Frage:
> Wie kann man sich denn anschaulich vorstellen was mit der
> Linearität in besagtem Intervall gemeint ist? Das dort die
> Funktion in einer Gerade von 0 auf 1 ansteigt?
Ja. Die Steigung beträgt folglich [mm] $\bruch{n}{2}$
[/mm]
Ich habe für die lineare Funktion nur den Verschiebungsterm [mm] $\bruch{n}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\left(\bruch{n}{2} - 1\right)$ [/mm] vergessen, der das ganze dann auf die korrekten Funktionswerte "normiert".
Die korrekte Funktionsangabe wäre also:
$ [mm] f_n(x)=\begin{cases} 0 & x < \bruch{1}{2} - \bruch{1}{n} \\ \bruch{n}{2}\cdot{}x - \bruch{1}{2}\left(\bruch{n}{2} - 1\right)& x\in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}, \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n}\right] \\ 1 & x > \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n} \end{cases} [/mm] $
Oder "schöner" vielleicht:
$ [mm] f_n(x)=\begin{cases} 0 & x < \bruch{1}{2} - \bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{2}\left(nx + 1 - \bruch{n}{2}\right)& x\in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}, \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n}\right] \\ 1 & x > \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n} \end{cases} [/mm] $
MFG,
Gono.
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> Hiho,
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> > In der Aufgabe ist nur von abgeschlossenen Intervallen die
> > Rede. Schreibst du in deiner Stückweisen definition von
> > [mm]f_n[/mm] "<" weil du davon ausgehst, dass der Aufgabensteller
> > sich vertippt hat?
>
> Nein, sondern weil die Funktion stetig ist und es dabei
> völlig egal ist, ob man < oder [mm]\le[/mm] schreibt (der
> Funktionswert an dieser Stelle ist dann eh gleich).
> Sauberer ist es allerdings, doppelte Definitionen zu
> vermeiden.
>
> > Und wie kommst du auf [mm]"\bruch{nx}{2}?[/mm]
>
> Dazu vorweg deine andere Frage:
>
> > Wie kann man sich denn anschaulich vorstellen was mit der
> > Linearität in besagtem Intervall gemeint ist? Das dort die
> > Funktion in einer Gerade von 0 auf 1 ansteigt?
>
> Ja. Die Steigung beträgt folglich [mm]\bruch{n}{2}[/mm]
> Ich habe für die lineare Funktion nur den
> Verschiebungsterm [mm]\bruch{n}{4} - \bruch{1}{2} = \bruch{1}{2}\left(\bruch{n}{2} - 1\right)[/mm]
> vergessen, der das ganze dann auf die korrekten
> Funktionswerte "normiert".
>
> Die korrekte Funktionsangabe wäre also:
>
> [mm]f_n(x)=\begin{cases} 0 & x < \bruch{1}{2} - \bruch{1}{n} \\ \bruch{n}{2}\cdot{}x - \bruch{1}{2}\left(\bruch{n}{2} - 1\right)& x\in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}, \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n}\right] \\ 1 & x > \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n} \end{cases}[/mm]
>
> Oder "schöner" vielleicht:
>
> [mm]f_n(x)=\begin{cases} 0 & x < \bruch{1}{2} - \bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{2}\left(nx + 1 - \bruch{n}{2}\right)& x\in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}, \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n}\right] \\ 1 & x > \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n} \end{cases}[/mm]
Hi!
Ah ok, verstehe! Ich habe mal versucht [mm] f_n-f_m [/mm] für [mm] n\le [/mm] m anzugeben, muss aber gestehen, dass ich mich etwas schwer daran getan habe. Daher ist es vielleicht auch falsch:
[mm] f_n(x)-f_m(x)=\begin{cases} 0 & x \in \left[0, \bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}\right]\cup\left[\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}, 1\right] \\ \bruch{n}{2}*(nx+1-\bruch{n}{2}) & x\in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}, \bruch{1}{2} - \bruch{1}{m}\right] \\ (\bruch{x}{2}-\bruch{1}{4})(n-m) & x \in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{m}, \bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}\right] \end{cases}
[/mm]
Vielleicht hast du das ja auch berechnet und kannst mal drüber schauen.
Angenommen das ist richtig, dann wäre es doch sinnvoll auch auf den angegebenen Intervallen zu integrieren:
[mm] \integral_{0}^{1}{|f_n(x)-f_m(x)| dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n}}^{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{m}}{|f_n(x)-f_m(x)| dx}+\integral_{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{m}}^{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}}{|f_n(x)-f_m(x)| dx} [/mm]
.. und dann einsetzen, was ich oben für die Differenz von [mm] f_n(x) [/mm] und [mm] f_m(x) [/mm] angegeben habe. Dann kommt hoffentlich ein Term raus, den ich abschätzen kann und aus dem ich dann das von [mm] \epsilon [/mm] abhängige [mm] N(\epsilon) [/mm] entnehmen kann. Ist das zumindest von der vorgehensweise so korrekt?
Grüße, kulli
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> Hi!
> Ah ok, verstehe! Ich habe mal versucht [mm]f_n-f_m[/mm] für [mm]n\le[/mm] m
> anzugeben, muss aber gestehen, dass ich mich etwas schwer
> daran getan habe. Daher ist es vielleicht auch falsch:
So falsch ist es gar nicht 
Aber mal langsam aufdröseln.
> [mm]f_n(x)-f_m(x)=\begin{cases} 0 & x \in \left[0, \bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}\right]\cup\left[\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}, 1\right] \\ \bruch{n}{2}*(nx+1-\bruch{n}{2}) & x\in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}, \bruch{1}{2} - \bruch{1}{m}\right] \\ (\bruch{x}{2}-\bruch{1}{4})(n-m) & x \in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{m}, \bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}\right] \end{cases}[/mm]
Was du (fast) gut erkannt hast, sind die stückweisen Intervalle.
Allerdings hast du einen kleinen Denkfehler gemacht. Das Stück, wo beide Funktionen ihr lineares Wachstum haben, ist nicht
[mm] $\left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{m}, \bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}\right]$
[/mm]
Sondern doch nur
[mm] $\left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{m}, \bruch{1}{2}+\bruch{1}{m}\right]$
[/mm]
Auf dem Restintervall
[mm] $\left[\bruch{1}{2} + \bruch{1}{m}, \bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}\right]$
[/mm]
ist [mm] $f_m$ [/mm] dann konstant 1.
Ob dein berechneter Wert auf dem jeweiligen Intervall stimmt, weiß ich nicht, aber ich kanns nachrechnen 
Fangen wir mal damit an, was sicher richtig ist:
Für $x [mm] \in \left[0, \bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}\right]\cup\left[\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}, 1\right]$ [/mm] ist [mm] $f_n [/mm] - [mm] f_m$ [/mm] gleich Null.
Dann kommt das Teilstück, wo [mm] f_n [/mm] bereits wächst, aber [mm] f_m [/mm] noch nicht (also Null ist). Also:
Für [mm] $x\in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{n}, \bruch{1}{2} - \bruch{1}{m}\right]$ [/mm] ist [mm] $f_n [/mm] - [mm] f_m [/mm] = [mm] f_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\left(nx + 1 - \bruch{n}{2}\right)$.
[/mm]
Aufpassen: Du hattest vor der Klammer [mm] $\bruch{n}{2}$ [/mm] stehen, was falsch wäre.
Nun das Intervall, wo beide Funktionen linear wachsen:
Also für $x [mm] \in \left[\bruch{1}{2} - \bruch{1}{m}, \bruch{1}{2}+\bruch{1}{m}\right]$ [/mm] ist [mm] $f_n [/mm] - [mm] f_m [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\left(nx + 1 - \bruch{n}{2}\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}\left(mx + 1 - \bruch{m}{2}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\left((n-m)x - \bruch{n-m}{2}\right) [/mm] = [mm] \bruch{n-m}{2}\left(x - \bruch{1}{2}\right)$
[/mm]
Und das war das, was du ja bereits heraus hattest
Nun noch das Intervall, wo [mm] f_m [/mm] ja bereits eins ist, aber [mm] f_n [/mm] noch nicht, also:
[mm] $x\in \left[\bruch{1}{2} + \bruch{1}{m}, \bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}\right]$ [/mm] ist [mm] $f_n [/mm] - [mm] f_m [/mm] = [mm] f_n [/mm] - 1 = [mm] \bruch{1}{2}\left(nx - 1 - \bruch{n}{2}\right)$
[/mm]
Und den Rest kennen wir ja auch, der ist wieder Null.
> Angenommen das ist richtig, dann wäre es doch sinnvoll
> auch auf den angegebenen Intervallen zu integrieren:
Korrekt, du zerlegst das Integral einfach in die stückweisen Intervalle.
Dann noch mit dem Betrag ein bisschen aufpassen und der Rest ist Standardprozedere.
> .. und dann einsetzen, was ich oben für die Differenz von
> [mm]f_n(x)[/mm] und [mm]f_m(x)[/mm] angegeben habe. Dann kommt hoffentlich
> ein Term raus, den ich abschätzen kann und aus dem ich
> dann das von [mm]\epsilon[/mm] abhängige [mm]N(\epsilon)[/mm] entnehmen
> kann. Ist das zumindest von der vorgehensweise so korrekt?
Jop.
MFG,
Gono.
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Vielen Dank für deine Mühe! Mache schnell Fehler bei solchen Rechnungen und bin immer sehr froh wenn es jmd gibt der drüber schaut!
Grüße, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 So 06.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo kullinarisch,
> (a) Was genau bedeutet [mm]V=C^0_b(D,\IC).[/mm] Ist das eine
> allgemeine Notation, die jemandem bekannt vorkommt? Also
> das hier: [mm]C^0_b.[/mm]
nun ja: Das [mm] $b\,$ [/mm] wird oft (an Mengen von Funktionen) halt drangeschrieben, wenn man kurz andeuten will, dass die dortige Menge nur beschränkte Funktionen enthält. Ich selber hätte einfach nur [mm] $C_b$ [/mm] geschrieben (oder wie es in Werner, Funktionalanalysis steht: [mm] $C^b$).
[/mm]
[mm] $C\,$ [/mm] kommt von "continu" (franz.) her.
Allgemein ist [mm] $C^n$ [/mm] eine Menge von Funktionen, die [mm] $n\,$-fach [/mm] stetig differenzierbar sind: Es ist klar, dass, wenn eine Funktion [mm] $n\,$-mal [/mm] diff'bar ist, dass dann die ersten [mm] $n-1\,$ [/mm] Ableitungen auch stetig sind, aber es muss nicht sein, dass die [mm] $n\,$-te [/mm] auch stetig ist.
Weiter definiert man meist einfach [mm] $C^0:=C\,,$ [/mm] insofern ist oben [mm] $C^0_b=C_b$ [/mm] die Menge der stetigen und beschränkten Funktionen.
ABER:
Ich würde hier [mm] $C^0_b$ [/mm] deswegen nicht schreiben, weil oft Mengen [mm] $C_0$ [/mm] auch so definiert werden:
[mm] $C_0$ [/mm] ist die Menge von (gewissen) Funktionen, die stetig sind "und im Unendlichen verschwinden". Dann ist sozusagen [mm] $C_0 \subseteq C^0_b=C_b\,,$ [/mm] und irgendwie kommt man mal schnell mit Index-oben und Index-unten Schreibweise durcheinander, und wenn das passiert, steht halt mal schnell Unsinn da, wenn man über [mm] $C_0$ [/mm] spricht, aber [mm] $C^0$ [/mm] meint oder umgekehrt.
P.S.
Schau' Dir mal in Werner, Funktionalanalysis, die ersten 10 Seiten an (insbesondere Seite 6).
P.P.S.
Auf kompakten Mengen [mm] $T\,$ [/mm] ist etwa [mm] $C(T,\IC)=C_b(T,\IC)=C^0_b(T,\IC)$ [/mm] (und wenn ich mich gerade nicht irre - aber es ist spät, also ggf. verzeihe man mir: ist das auch [mm] $=C_0(T,\IC)$).
[/mm]
Aber wie gesagt: In der Aufgabenstellung steht halt wenigstens die Bedeutung des [mm] $b\,$'s [/mm] dabei, und [mm] $C^0$ [/mm] meint nichts anderes als [mm] $C\,.$ [/mm] Und wenn Du in Euer Skript reinschaust: Ich wage die Vermutung, dass ihr [mm] $C^n$ [/mm] (bzw. [mm] $C^n(M,\IC)$ [/mm] für eine Teilmenge $M [mm] \subseteq \IC$) [/mm] für $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] definiert habt. Und anders gesagt: Wenn das alles definiert war, dann war der Aufgabensteller nur so nett, nochmal manches, was man sonst nachschlagen würde/sollte, in den Satz der Aufgabenformulierung mit reinzupacken!
Gruß,
Marcel
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Danke Marcel, eine sehr schöne ausführliche erläuterung dazu! Im Skript wurde das (noch) nicht definiert, die Vorlesung ist leider nicht immer Deckungsgleich mit dem Skript und man ist ja auch nicht immer anwesend..!
Grüße, kulli
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| Aufgabe | Sei [mm] D\subset\IC, [/mm] und sei [mm] V=C^0_b(D,\IC) [/mm] der [mm] \IC- [/mm] Vektorraum der stetigen beschränkten Funktionen f: [mm] D\to\IC
[/mm]
(a) Zeige, dass V mit der von der Supremumsnorm [mm] ||.||_D [/mm] induzierten Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist. |
Guten Abend, ich möchte nochmal den Aufgabeteil (a) aufgreifen:
Überlegung:
Wenn V ein vollständiger metrischer Raum sein soll, dann muss jede Cauchy-Folge konvergieren. Das muss ich ja irgendwie zeigen..
Wenn ich mir dazu eine beliebige Funktionenfolge [mm] f_n: D\to\IC [/mm] aus V nehme, dann weiß ich ja zumindest, dass die Folgenglieder stetig und beschränkt sind auf D.
Nach Bolzano- Weierstraß hat [mm] f_n [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] f_k [/mm] die dann bezüglich der Supremumsmetrik [mm] ||.||_D [/mm] gegen einen Wert [mm] a\in\IC [/mm] konvergiert und [mm] a=\limes_{k\rightarrow\infty}||f_k(x)||_D [/mm] Da aber jede konvergente Folge eine Cauchy- Folge ist, ist V deshalb ein vollständiger Raum bezüglich [mm] ||.||_D? [/mm]
Ist das so zu zeigen, wenn man es mathematisch formuliert?
Grüße, kulli
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Hallo,
> Sei [mm]D\subset\IC,[/mm] und sei [mm]V=C^0_b(D,\IC)[/mm] der [mm]\IC-[/mm] Vektorraum
> der stetigen beschränkten Funktionen f: [mm]D\to\IC[/mm]
>
> (a) Zeige, dass V mit der von der Supremumsnorm [mm]||.||_D[/mm]
> induzierten Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist.
> Guten Abend, ich möchte nochmal den Aufgabeteil (a) aufgreifen:
>
> Überlegung:
>
> Wenn V ein vollständiger metrischer Raum sein soll, dann
> muss jede Cauchy-Folge konvergieren. Das muss ich ja irgendwie zeigen..
>
> Wenn ich mir dazu eine beliebige Funktionenfolge [mm]f_n: D\to\IC[/mm]
> aus V nehme, dann weiß ich ja zumindest, dass die
> Folgenglieder stetig und beschränkt sind auf D.
>
> Nach Bolzano- Weierstraß hat [mm]f_n[/mm] eine konvergente
> Teilfolge [mm]f_k[/mm] die dann bezüglich der Supremumsmetrik
> [mm]||.||_D[/mm] gegen einen Wert [mm]a\in\IC[/mm] konvergiert und
> [mm]a=\limes_{k\rightarrow\infty}||f_k(x)||_D[/mm] Da aber jede
> konvergente Folge eine Cauchy- Folge ist, ist V deshalb ein
> vollständiger Raum bezüglich [mm]||.||_D?[/mm]
In unendlich dimensionalen Vektorräumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß nicht.
Man kann aber f zunächst als punktweisen Grenzwert der Funktionenfolge [mm] $(f_n)$ [/mm] definieren.
Aus [mm] \|f_n-f_m\|\le\varepsilon [/mm] für [mm] $m,n\ge [/mm] N$ folgt durch Grenzübergang [mm] (m\to\infty), [/mm] dass auch [mm] \|f_n-f\|\le\varepsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Die Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert also gleichmäßig gegen $f$.
Damit übernimmt $f$ auch die guten Eigenschaften der [mm] $f_n$, [/mm] d. h. $f$ ist stetig und beschränkt, liegt also wieder in V.
LG
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