Cauchy Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Do 17.11.2011 | | Autor: | enes.g |
| Aufgabe | Sei 0 [mm] \le [/mm] q < 1, c [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] eine Folge mit
| [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] | [mm] \le cq^{n}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] eine Cauchyfolge ist. |
Also eine Folge heisst Cauchyfolge, wenn gilt:
[mm] \forall \varepsilon \ge [/mm] 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : | [mm] (a_{n}) [/mm] - [mm] (a_{m}) [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wie muss ich hier vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
Im Prinzip musst du ja nur zeigen, dass zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] N_{0} \in \IN [/mm] existiert.
| $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ - $ [mm] a_{n} [/mm] $ | $ [mm] \le cq^{n} [/mm] $
=> Im prinzup hast du schon gegeben dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Folgeglieder [mm] \le cq^{n} [/mm] ist.
Es genügt also zu zeigen, dass zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] N_{0} [/mm] existiert, sodass [mm] cq^{N_{0}} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Nach Vorrussetzung ist C eine konstante mit c [mm] \ge [/mm] 0.
=> [mm] cq^{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw q^{n}< \bruch{\varepsilon}{C} [/mm]
Der rechte Teil der Ungleichung ist einfach wieder eine Zahl > 0 , also von den vorraussetzungen wie [mm] \varepsilon.
[/mm]
Setze deswegen [mm] \bruch{\varepsilon}{C}=\delta
[/mm]
[mm] =>q^{n}< \delta
[/mm]
Da 0 [mm] \le [/mm] q<1 ist , konvergiert [mm] q^{n} [/mm] monoton gegen 0.
=> Man findet immer ein [mm] N_{0} [/mm] zu vorgegebenen [mm] \delta [/mm] ,sodass [mm] q^{N_{0}}<\delta
[/mm]
=> Es handelt sich um eine Cauchy-Folge
Hoffe es stimmt so
MFG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Do 17.11.2011 | | Autor: | enes.g |
Ist es selbstverständlich, dass man immer ein [mm] N_0 [/mm] zu vorgegebenem [mm] \delta [/mm] findet? Oder muss ich hier auch zeigen, warum das so ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
Selbstverständlich ist es nicht, du musst im allgeimeinem immer zeigen wieso das so ist, wenn es so ist.
Bei Cauchy- Folgen ist das eben das ausschlaggebende Kriterium, das man zu jedem vorgegebenem Epsilon >0 Folgeindizex(also zwei Folgeglieder) findet für die gilt:
[mm] |a_{m}-a{n}|< \varepsilon [/mm] für m>n
Der Vorteil einer Cauchy- Folge ist, dass man den Grenzwert nicht zu kennen braucht und trotzdem Aussagen über die Konvergenz der Folge treffen kann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Do 17.11.2011 | | Autor: | enes.g |
Also muss ich die Beweisführung noch wie ergänzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
Die Beweisführung zu der Folge von dir ist abgeschlossen. Also denke so ist die Sache in sich Schlüssig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Do 17.11.2011 | | Autor: | enes.g |
Ich denke ich muss mir die Definition nochmal richtig anschauen und verinnerlichen. Ich danke dir sehr für deine Hilfe..
Wo gerade dabei sind, weisst du auch warum der limsup der größte häufungspunkt ist? Das muss ich nämlich als nächstes beweisen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
Die [mm] \varepsilon [/mm] Definition für Konvergenz und später vll Stetigkeit wenn du das in deiner Lesung machen soltest, muss man sich wenns neu ist einige mal zu gemüte fürhen und gut verinnerlichen.
Das dahinterstehende Prinzip ist ein sehr zentrales in der Mathematik.
Naja Häufungspunkte sind die Punkte für die gilt:
In jeder noch so kleinen Umgebung um den Punkt liegen unendlich viele Folgeglieder, anders:
b ist Häufungspunkt von der Folge [mm] a_{n}, [/mm] wenn für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 aber belibig klein gilt:
Es gibt unendlich viele Folgeglieder a der Folge [mm] a_{n} [/mm] die in der Umgebung (b+ [mm] \varepsilon [/mm] , b- [mm] \varepsilon) [/mm] liegen.
Unmittlebar einsichtig ist, dass folgen mit mehr als einem Häufungspunkt nicht Konvergenz sein können, wie zB die folge [mm] a_{n}=(-1)^{n}
[/mm]
-> Es gibt unendlich viele Folgeglieder die entweder 1 oder -1 sind.
Das Supremum einer menge gibt immer an ,welches element der menge das größte ist, der lim sup [mm] (a_{n}) [/mm] sagt dir deswegen welches der größte häufungspunkt ist.
Der lim inf gibt an welche der kleineste Häufungspunkt ist.
=>> ist lim [mm] sup(a_{n})=lim inf(a_{n}) [/mm] konvergiert die folge.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:32 Do 17.11.2011 | | Autor: | enes.g |
Hast du auch einen Beweis, warum Konvergenz herrscht, wenn
lim inf [mm] a_n [/mm] = lim sup [mm] a_n [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 20.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Fr 18.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Im Prinzip musst du ja nur zeigen, dass zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]N_{0} \in \IN[/mm] existiert.
> | [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] | [mm]\le cq^{n}[/mm]
Nein. Das ist nicht zu zeigen, weder im Prinzip noch nicht im Prinzip. Du hast den Begriff "Cauchyfolge " nicht verdaut.
> => Im prinzup hast du
> schon gegeben dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender
> Folgeglieder [mm]\le cq^{n}[/mm] ist.
Wieso im Prinzip ? Laut Vor. ist das so ?
> Es genügt also zu zeigen, dass zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] >0
> ein [mm]N_{0}[/mm] existiert, sodass [mm]cq^{N_{0}}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] ist.
Nein, das genügt nicht.
>
> Nach Vorrussetzung ist C eine konstante mit c [mm]\ge[/mm] 0.
> => [mm]cq^{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw q^{n}< \bruch{\varepsilon}{C}[/mm]
> Der rechte Teil der Ungleichung ist einfach wieder eine
> Zahl > 0 , also von den vorraussetzungen wie [mm]\varepsilon.[/mm]
> Setze deswegen [mm]\bruch{\varepsilon}{C}=\delta[/mm]
> [mm]=>q^{n}< \delta[/mm]
> Da 0 [mm]\le[/mm] q<1 ist , konvergiert [mm]q^{n}[/mm]
> monoton gegen 0.
> => Man findet immer ein [mm]N_{0}[/mm] zu vorgegebenen [mm]\delta[/mm]
> ,sodass [mm]q^{N_{0}}<\delta[/mm]
> => Es handelt sich um eine Cauchy-Folge
Nix hast Du gezeigt, weder quasi , noch im Prinzip und auch nicht im Endeffekt
FRED
>
> Hoffe es stimmt so
> MFG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Fr 18.11.2011 | | Autor: | enes.g |
Alles klar. Hab es verstanden.
Habe limsup = liminf = a, wobei a Häufungspunkt.
Dann folgt für [mm] \varepsilon [/mm] >0
[mm] a-\varepsilon [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] a+\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich danke dir für deine Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Fr 18.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
gelöscht wegen Doppelpost
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Hallo,
> Sei 0 [mm]\le[/mm] q < 1, c [mm]\ge[/mm] 0 und [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] eine Folge
> mit | [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] | [mm]\le cq^{n}[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] eine Cauchyfolge ist.
> Also eine Folge heisst Cauchyfolge, wenn gilt:
Anderer Weg [mm] (n\geq [/mm] m):
[mm] |a_n-a_m|=\left|\sum_{i=m}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})\right|\leq\sum_{i=m}^{n-1}|a_{i+1}-a_{i}|\leq\sum_{i=m}^{n-1}cq^i\leq\sum_{i=m}^{\infty}cq^i.
[/mm]
Auf der rechten Seite kannst du sehr einfach die Formel für geometrische Summe/Reihe verwenden.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Fr 18.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Einige Anmerkungen:
1. Es tut mir leid, aber es muß gesagt werden: alle Beiträge in dieser Diskussion des Users Fyrus sind fehlerhaft. Also: unverdaute und nicht verstandene Mathematik bitte nicht an Hilfesuchende weitergeben.
2. Wenn eine Folge [mm] (a_n) [/mm] folgende Eigenschaft hat:
zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] |a_{n+1}-a_n|< \varepsilon [/mm] für n>N,
so muß [mm] (a_n) [/mm] keine Cauchyfolge sein ! Gegenbeispiel ?.
3. Kamaleonti schreibt in seiner Antwort: "anderer Weg". Meiner Meinung nach gibt es keinen aderen Weg, als der, der von Kamaleont vorgeschlagen wurde.
FRED
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