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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Di 12.09.2006 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
mich interessiert folgendes Problem. Angenommen wir haben einen metrischen Raum $(X, d)$ und sei [mm] $(x_i)$ [/mm] eine Cauchy Folge. Wenn eine Teilfolge [mm] $(y_{j})$ [/mm] von [mm] $(x_i)$ [/mm] gegen einen Grenzwert [mm] $x\in [/mm] X$ konvergiert, konvergiert dann die gesamte Cauchy Folge auch gegen $x$?
Meine Vermutung ist ja. Denn angenommen, die Cauchy Folge konvergiert nicht gegen $x$, dann gibt es eine andere Teilfolge [mm] $(z_{k})$, [/mm] die
a) selbst auch eine Cauchy Folge ist
b) fuer deren Glieder der Abstand zu x groesser als ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ ist
Also kann ich aus den [mm] $y_{j}$ [/mm] und [mm] $z_{k}$ [/mm] eine Teilfolge bauen, die keine Cauchy-Folge ist. Dann ist auch [mm] $(x_i)$ [/mm] keine Cauchy Folge.
Die Beweisskizze (wenn sie denn richtig ist), kommt mir recht holperig vor. Gibt es da etwas eleganteres?
Handelt es sich bei meinem Problem um ein klassisches Resultat? Wenn ja, wo kann man das nachlesen?
Vielen Dank und beste Gruesse
j
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Hallo und guten Tag,
ich find die Beweisskizze absolut in Ordnung.
Derartige Dinge sollten zB in Büchern der Analysis behandelt werden, es gibt zB auch in dem Buch von W. Alt ''Funktionalanalysis''
ein kurzes Kapitel am Anfang über metrische Räume, Cauchy-Folgen und derartige Dinge.
Standardstoff ist es allemal.
Gruss,
Mathias
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