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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Diesmal erstmal keine Übungsaufgabe...
Es geht um das Cavalierische Prinzip. So weit ich das verstanden habe, sagt das aus, dass zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn man sie in der "gleichen Höhe" schneidet, und sie dort das gleiche "Volumen" haben, also in einer Dimension weniger. Und wenn man das jetzt an jeder Stelle so macht und überall das Volumen gleich ist, dann ist das Gesamtvolumen gleich.
Ich weiß zwar nicht, ob ich das jetzt verständlich aufgeschrieben habe, aber ich glaube, ich habe das schon richtig verstanden!
Aber abgesehen von der tollen Zeichnung des Profs (*gg*) haben wir noch Folgendes aufgeschrieben:
Sei K [mm] \subset \IR^n [/mm] messbar und [mm] \forall t\in \IR K_t [/mm] = [mm] \{y\in\IR^{n-1}:(y,t)\in K\} [/mm] t-Schnitt von K. Dann ist [mm] \mu_n(K)=\integral_{-\infty}^{\infty}{\mu_{n-1}(K_t)dt}
[/mm]
Ich nehme mal an, dass hier eigentlich nur genau das stehen soll, was ich oben beschrieben habe. Aber wahrscheinlich habe ich noch ein Problem mit dem Integral.
Also, [mm] \mu_n(K) [/mm] soll doch das Volumen dieses ganzen Körpers sein (oder wie nennt man das im n-Dimensionalen?). Und [mm] \mu_{n-1}(K_t) [/mm] ist ja wohl das "Volumen" des t-Schnitts, also des Körpers in einer Dimension weniger (ich hoffe, das ist mathematisch geschrieben wenigstens halbwegs korrekt...). Aber wieso steht da dann noch das Integral davor?
In einer anderen Version hatten wir Folgendes da stehen:
[mm] \mu_n(A)=\mu_{n-1}(B)*h, [/mm] wobei A der ganze Körper ist, B die Grundfläche und h die Höhe. Also quasi Grundfläche mal Höhe, wie man das aus der Mittelstufen-Geometrie kennt. Aber wieso haben wir hier kein Integral stehen, sondern stattdessen ein Maß und die Höhe? Und in der anderen Version nicht???
Ich hoffe, es tut hier auch eine kurze Erklärung, ich hab' sonst immer ein schlechtes Gewissen, dass ich euch so viel Arbeit mache. Und diese Frage dürfte doch eigentlich recht einfach zu beantworten sein...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Ahoi,
Konkretes Beispiel:
V = Volumen eines Kegels der Höhe h mit Grundkreisradius r
V = Integral von 0 bis h über dz mal (Fläche eines Kreises mit Radius zr/h)
Hilft das, die Integralschreibweise zu erklären? Rechne mal das konkrete Beispiel durch.
Auch die physikalische Dimension kommt automatisch richtig heraus: dz hat die Dimension Länge, mal Integrand mit der Dimension Fläche gibt Volumen.
Nun als weiteres Beispiel ein Zylinder:
dann ist der Integrand von z unabhängig;
deshalb V = h mal Integrand,
Herzlich - PP
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Paula!
Danke für die schnelle Antwort, aber es hilft mir leider nicht ganz.
> Konkretes Beispiel:
> V = Volumen eines Kegels der Höhe h mit Grundkreisradius
> r
> V = Integral von 0 bis h über dz mal (Fläche eines Kreises
> mit Radius zr/h)
Was ist denn z? Wie kommst du auf Radius zr/h? Und sollen die beiden Vs dasselbe sein?
> Hilft das, die Integralschreibweise zu erklären? Rechne
> mal das konkrete Beispiel durch.
Nein, leider nicht. Ich weiß immer noch nicht, warum wir einmal nur mit Maßen gerechnet haben und einmal mit nur einem Maß und einem Integral.
Viele Grüße
Bastiane
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z ist eine Laufvariable, die von 0 bis h läuft, und die angibt, in welcher wo wir den Kegel gerade schneiden. Wenn der Schnitt bei z=0 den Radius r hat und bei z=h den Radius 0, dann hat er bei beliebigem z den Zwischenwert z/h mal r.
zu Deiner anderen Frage: wo ist beim Zylinder das Integral hin ? Es ist ausgerechnet ! Weil der Integrand z-unabhängig ist, kannst Du ihn vors Integral ziehen. Dann bleibt nur noch ein Integral von 0 bis h dz mit dem Integranden 1. Das gibt h.
Herzlich - PP
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Paula!
> z ist eine Laufvariable, die von 0 bis h läuft, und die
> angibt, in welcher wo wir den Kegel gerade schneiden. Wenn
> der Schnitt bei z=0 den Radius r hat und bei z=h den Radius
> 0, dann hat er bei beliebigem z den Zwischenwert z/h mal
> r.
Ach so, ich glaube, wir hatten das t genannt.
> zu Deiner anderen Frage: wo ist beim Zylinder das Integral
> hin ? Es ist ausgerechnet ! Weil der Integrand z-unabhängig
> ist, kannst Du ihn vors Integral ziehen. Dann bleibt nur
> noch ein Integral von 0 bis h dz mit dem Integranden 1. Das
> gibt h.
Danke, ich glaube das hilft. Ich wusste, es könnte nicht allzu schwierig sein.
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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