Charakteristik endlicher Körpe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 14.10.2013 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo,
ich habe ein ganz dringendes Problem, bei dem ich alleine nicht weiterkomme.
Und zwar geht es um die Charakteristik eines endlichen Körpers mit [mm] p^n [/mm] Elementen (p: Primzahl, n [mm] \in \IN). [/mm] Wie Z.B [mm] \IF_{8} [/mm] = [mm] \IF_{2^3}.
[/mm]
Definitionsgemäß gibt doch die Charakteristik eines Ringes (falls die Charakteristik positiv ist) die kleinste natürliche Zahl n an, für die
[mm] \underbrace{e+...+e }_{n} [/mm] = 0
gilt. Dabei ist e das neutrale Element bezüglich der Ringmultiplikation; 0 das neutrale Element bezüglich der Ringaddition und + ist die im Ring definierte Addition.
Ich glaube das ist so richtig formuliert, oder?
So, nun meine konkrete Frage dazu, die mir Kopfzerbrechen bereitet:
Nach dieser Definition hätte ich nun gedacht, dass [mm] char(\IF_8)=8 [/mm] wäre, denn es gilt doch in [mm] \IF_8:
[/mm]
1= 1
1+1=2
1+1+1=3
1+1+1+1=4
1+1+1+1+1=5
1+1+1+1+1+1=6
1+1+1+1+1+1+1=7
1+1+1+1+1+1+1+1=0
Jetzt habe ich aber gelesen, dass die Charakteristik eines endlichen Körpers immer eine Primzahl ist und dass die Charakteristik von [mm] \IF_8 [/mm] gleich zwei ist. Aber 1+1 ist doch in [mm] \IF_8 [/mm] gleich 2 und nicht gleich 0, oder? Irgendwas habe ich da wohl grundsätzlich nicht verstanden, aber ich komme nicht drauf, was es ist.
Könnte mir bitte, bitte jemand weiterhelfen und mir sagen, wo der Denkfehler liegt?
Viele Grüße, Ellie!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mo 14.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Ellie!
> Hallo,
> ich habe ein ganz dringendes Problem, bei dem ich alleine
> nicht weiterkomme.
> Und zwar geht es um die Charakteristik eines endlichen
> Körpers mit [mm]p^n[/mm] Elementen (p: Primzahl, n [mm]\in \IN).[/mm] Wie
> Z.B [mm]\IF_{8}[/mm] = [mm]\IF_{2^3}.[/mm]
>
> Definitionsgemäß gibt doch die Charakteristik eines
> Ringes (falls die Charakteristik positiv ist) die kleinste
> natürliche Zahl n an, für die
>
> [mm]\underbrace{e+...+e }_{n}[/mm] = 0
>
> gilt. Dabei ist e das neutrale Element bezüglich der
> Ringmultiplikation; 0 das neutrale Element bezüglich der
> Ringaddition und + ist die im Ring definierte Addition.
>
> Ich glaube das ist so richtig formuliert, oder?
Ja.
> So, nun meine konkrete Frage dazu, die mir Kopfzerbrechen
> bereitet:
>
> Nach dieser Definition hätte ich nun gedacht, dass
> [mm]char(\IF_8)=8[/mm] wäre, denn es gilt doch in [mm]\IF_8:[/mm]
> 1= 1
> 1+1=2
Und $2 = 0$ in [mm] $\IF_8$.
[/mm]
> 1+1+1=3
> 1+1+1+1=4
> 1+1+1+1+1=5
> 1+1+1+1+1+1=6
> 1+1+1+1+1+1+1=7
> 1+1+1+1+1+1+1+1=0
>
> Jetzt habe ich aber gelesen, dass die Charakteristik eines
> endlichen Körpers immer eine Primzahl ist und dass die
> Charakteristik von [mm]\IF_8[/mm] gleich zwei ist. Aber 1+1 ist doch
> in [mm]\IF_8[/mm] gleich 2 und nicht gleich 0, oder?
Nein, in [mm] $\IF_8$ [/mm] ist $2 = 0$.
Du verwechelst vermutlich [mm] $\IF_8$ [/mm] mit [mm] $\IZ/8\IZ$, [/mm] welches kein Koerper ist.
> Irgendwas habe
> ich da wohl grundsätzlich nicht verstanden, aber ich komme
> nicht drauf, was es ist.
> Könnte mir bitte, bitte jemand weiterhelfen und mir
> sagen, wo der Denkfehler liegt?
Verrate uns doch mal, wie [mm] $\IF_8$ [/mm] bei euch definiert wurde.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mo 14.10.2013 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort.
> Nein, in [mm]\IF_8[/mm] ist [mm]2 = 0[/mm].
> Du verwechelst vermutlich [mm]\IF_8[/mm] mit [mm]\IZ/8\IZ[/mm], >welches kein
> Koerper ist.
Ja offensichtlich verwechsle ich [mm]\IF_8[/mm] mit [mm]\IZ/8\IZ[/mm].
>
>
> Verrate uns doch mal, wie [mm]\IF_8[/mm] bei euch definiert wurde.
Wie bei uns genau die Definition für [mm] \IF_8 [/mm] ist, kann ich leider grade nicht nachschlagen. Aber ich dachte halt schon, dass [mm] \IF_8 [/mm] eben das Gleiche ist wie [mm] \IZ/8\IZ, [/mm] nur dass man eben weil es sich bei [mm] \IZ/8\IZ [/mm] um einen Körper handelt (da ja 8 ne Primzahlpotenz ist) eben [mm] \IF_8 [/mm] schreibt. Einfach um erkennbar zu machen, dass [mm] \IZ/8\IZ [/mm] ein Körper ist. Aber ich dachte auf jeden Fall, dass das Rechnen in [mm] \IZ/8\IZ [/mm] genauso funktioniert wie in [mm] \IF_8. [/mm] Aber offensichtlich gibt es da wohl einen Unterschied, denn sonst wäre ja nicht 2=0 in [mm] \IF_8, [/mm] was ja in [mm] \IZ/8\IZ [/mm] nicht gilt.
Wo liegt denn jetzt der Unterschied zwischen [mm] \IF_8 [/mm] und [mm] \IZ/8\IZ?
[/mm]
Viele Grüße, Ellie.
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Hey Ellie,
der Hauptunterschied ist, dass [mm] $\IZ/8\IZ$ [/mm] kein Körper ist.
Versuch doch mal in [mm] $\IZ/8\IZ$ [/mm] das Element $2$ zu invertieren - du wirst scheitern. :)
[mm] $\IF_8$ [/mm] kannst du dir beispielsweise vorstellen als folgende Menge:
[mm] $\{0,1,\alpha, \alpha+1,\alpha^2,\alpha^2+\alpha,\alpha^2+1,\alpha^2+\alpha+1\}$, [/mm] wobei diese $8$ Elemente paarweise verschieden sind. Die $0$ ist wieder das neutrale Element der Addition, die $1$ das neutrale Element der Multiplikation.
Die Addition ist bereits vollständig definiert, wenn du bedenkst, dass [mm] $\IF_8$ [/mm] Charakteristik $2$ haben soll, also $x+x=2x = 0$ für alle $x [mm] \in \IF_8$.
[/mm]
Um die Multiplikation vollständig zu definieren, müssen wir noch festlegen, dass [mm] $\alpha^3 [/mm] = [mm] \alpha+1$ [/mm] gelten soll.
Dadurch kannst du alle Potenzen von [mm] $\alpha$, [/mm] die [mm] $\geq [/mm] 3$ sind, reduzieren.
Dass dies wirklich ein Körper ist und wie man dieses Vorgehen zur Konstruktion verallgemeinert - woher überhaupt die Idee kommt und dass die Festlegungen hier nicht vollkommen willkürlich sind - lernst du sicher noch, wenn ihr Restklassenringe von Polynomringen betrachtet.
Oftmals reicht es auch zu wissen: [mm] $\IF_8$ [/mm] ist der bis auf Isomorphie eindeutige Körper mit $8$ Elementen.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Di 15.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> der Hauptunterschied ist, dass [mm]\IZ/8\IZ[/mm] kein Körper ist.
> Versuch doch mal in [mm]\IZ/8\IZ[/mm] das Element [mm]2[/mm] zu invertieren
> - du wirst scheitern. :)
> [mm]\IF_8[/mm] kannst du dir beispielsweise vorstellen als folgende
> Menge:
> [mm]\{0,1,\alpha, \alpha+1,\alpha^2,\alpha^2+\alpha,\alpha^2+1,\alpha^2+\alpha+1\}[/mm],
> wobei diese [mm]8[/mm] Elemente paarweise verschieden sind. Die [mm]0[/mm]
> ist wieder das neutrale Element der Addition, die [mm]1[/mm] das
> neutrale Element der Multiplikation.
> Die Addition ist bereits vollständig definiert, wenn du
> bedenkst, dass [mm]\IF_8[/mm] Charakteristik [mm]2[/mm] haben soll, also
> [mm]x+x=2x = 0[/mm] für alle [mm]x \in \IF_8[/mm].
> Um die Multiplikation
> vollständig zu definieren, müssen wir noch festlegen,
> dass [mm]\alpha^3 = \alpha+1[/mm] gelten soll.
> Dadurch kannst du alle Potenzen von [mm]\alpha[/mm], die [mm]\geq 3[/mm]
> sind, reduzieren.
um das noch etwas zu praezisieren: hier wird das Modell [mm] $\IF_8 [/mm] = [mm] \IF_2[X]/(X^3+X+1)$ [/mm] betrachtet.
Dies funktioniert, da [mm] $X^3 [/mm] + X + 1$ irreduzibel von Grad 3 in [mm] $\IF_2[X]$ [/mm] ist. Damit hat der entsprechende Faktorring [mm] $2^3 [/mm] = 8$ Elemente und ist ein Koerper.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Di 15.10.2013 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo Felix, shadow und alle Anderen,
mir ist einiges schon ein wenig klarer geworden. Allerdings habe ich leider noch nicht den totalen Durchblick
:( Deshalb nun einige Überlegungen von mir und Fragestellungen, die mir noch unklar sind.
> > der Hauptunterschied ist, dass [mm]\IZ/8\IZ[/mm] kein Körper ist.
> > Versuch doch mal in [mm]\IZ/8\IZ[/mm] das Element [mm]2[/mm] zu
> > invertieren
> > - du wirst scheitern. :)
Mir ist das über Nacht auch bereits aufgefallen, dass [mm] \IZ/8\IZ [/mm] schon aufgrund der Tatsache, dass nicht alle Elemente darin invertierbar sind, kein Körper sein kann.
Invertierbar sind doch nur die Elemente in [mm] \IZ/8\IZ, [/mm] die teilerfremd zu 8 sind, oder?
Also nur die 1,3,5,7. Kann man das so sagen?
> > [mm]\IF_8[/mm] kannst du dir beispielsweise vorstellen als
> folgende
> > Menge:
> > [mm]\{0,1,\alpha, \alpha+1,\alpha^2,\alpha^2+\alpha,\alpha^2+1,\alpha^2+\alpha+1\}[/mm],
> > wobei diese [mm]8[/mm] Elemente paarweise verschieden sind. Die [mm]0[/mm]
> > ist wieder das neutrale Element der Addition, die [mm]1[/mm] das
> > neutrale Element der Multiplikation.
Wenn ich aber nun etwas in der Form [mm] \IZ/m\IZ [/mm] (m>0) sehe, kann ich mir das doch wie folgt vorstellen, oder?
[mm] \IZ/m\IZ [/mm] = { [mm] \overline{0}, \overline{1}, [/mm] ... , [mm] \overline{m-1} [/mm] } = { { ..., -2m, -m, 0, m, 2m, ...}, {..., -(2m+1),-(m+1), 1, m+1, 2m+1,...},..., {..., -(3m-1), -(2m-1), m-1, 2m-1, 3m-1,...}}
Und wenn ich sowas habe, dann weiß ich doch aber schon automatisch, dass die Charakteristik davon gleich m ist, oder?
Kann man sagen, dass [mm] \IZ/p\IZ [/mm] = [mm] \IF_p [/mm] (p: Primzahl) gilt, dass also [mm] \IZ/m\IZ [/mm] genau dann immer ein Körper ist, wenn m eine Primzahl ist. Und wenn aber in [mm] \IZ/m\IZ [/mm] das m eine Primzahlpotenz ist, dann ist [mm] \IZ/m\IZ [/mm] kein Körper, d.h also [mm] \IZ/m\IZ \not= \IF_m. [/mm] Und ich muss mir dieses [mm] \IF_m [/mm] irgendwie anders vorstellen; nämlich als Menge von Polynomen. Richtig??
Und könnte ich mir dieses [mm] \IF_m [/mm] dann eigentlich auch als Menge von Tupeln vorstellen. Also zum Beispiel für [mm] \IF_8 [/mm] = {(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1),(0,1,1),(1,0,1), (1,1,0),(1,1,1)}. Geht das?
> > Die Addition ist bereits vollständig definiert, wenn du
> > bedenkst, dass [mm]\IF_8[/mm] Charakteristik [mm]2[/mm] haben soll, also
> > [mm]x+x=2x = 0[/mm] für alle [mm]x \in \IF_8[/mm].
Das verstehe ich leider nicht ganz. Wieso kann man jetzt einfach aufgrund der Tatsache, dass für alle x [mm] \in \IF_8 [/mm] x+x=0 gilt, sagen, dass die Addition in [mm] \IF_8 [/mm] bereits vollständig definiert ist? Warum hier x+x =0 ist, ist mir klar. Aber was gilt denn für zwei verschiedene Elemente a, b [mm] \in \IF_8. [/mm] Also: a+b = ?
> > Um die Multiplikation
> > vollständig zu definieren, müssen wir noch festlegen,
> > dass [mm]\alpha^3 = \alpha+1[/mm] gelten soll.
> > Dadurch kannst du alle Potenzen von [mm]\alpha[/mm], die [mm]\geq 3[/mm]
> > sind, reduzieren.
Bei dieser Aussage verstehe ich leider nicht, warum man jetzt einfach sagen darf, dass [mm] \alpha^3 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] +1 ist . Und warum dadurch die Multiplikation in [mm] \IF_8 [/mm] festgelegt ist. Wenn ich dann z.B. das Produkt von [mm] \alpha [/mm] und [mm] (\alpha [/mm] +1) berechnen will komme ich als Ergebnis auf [mm] \alpha^4. [/mm] Aber das ist doch gar kein Element aus dem oben beschriebenen Körper [mm] \IF_8, [/mm] den ich mir als Menge von Polynomen vorstellen sollte? Oder wie muss ich mir die Multiplikation vorstellen, die man aufgrund der Festlegung [mm] \alpha^3 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] +1 definieren kann?
>
> um das noch etwas zu praezisieren: hier wird das Modell
> [mm]\IF_8 = \IF_2[X]/(X^3+X+1)[/mm] betrachtet.
>
> Dies funktioniert, da [mm]X^3 + X + 1[/mm] irreduzibel von Grad 3 in
> [mm]\IF_2[X][/mm] ist. Damit hat der entsprechende Faktorring [mm]2^3 = 8[/mm]
> Elemente und ist ein Koerper.
>
> LG Felix
>
Vielen Dank schon mal für jede weitere Hilfe!
Viele Grüße, Ellie
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> Hallo Felix, shadow und alle Anderen,
>
> mir ist einiges schon ein wenig klarer geworden. Allerdings
> habe ich leider noch nicht den totalen Durchblick
> :( Deshalb nun einige Überlegungen von mir und
> Fragestellungen, die mir noch unklar sind.
>
> > > der Hauptunterschied ist, dass [mm]\IZ/8\IZ[/mm] kein Körper ist.
> > > Versuch doch mal in [mm]\IZ/8\IZ[/mm] das Element [mm]2[/mm] zu
> > > invertieren
> > > - du wirst scheitern. :)
>
> Mir ist das über Nacht auch bereits aufgefallen, dass
> [mm]\IZ/8\IZ[/mm] schon aufgrund der Tatsache, dass nicht alle
> Elemente darin invertierbar sind, kein Körper sein kann.
> Invertierbar sind doch nur die Elemente in [mm]\IZ/8\IZ,[/mm] die
> teilerfremd zu 8 sind, oder?
> Also nur die 1,3,5,7. Kann man das so sagen?
Ja.
Man kann sogar allgemein beweisen, dass in [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] genau die Zahlen invertierbar sind, die teilerfremd zu $m$ sind.
> > > [mm]\IF_8[/mm] kannst du dir beispielsweise vorstellen als
> > folgende
> > > Menge:
> > > [mm]\{0,1,\alpha, \alpha+1,\alpha^2,\alpha^2+\alpha,\alpha^2+1,\alpha^2+\alpha+1\}[/mm],
> > > wobei diese [mm]8[/mm] Elemente paarweise verschieden sind. Die [mm]0[/mm]
> > > ist wieder das neutrale Element der Addition, die [mm]1[/mm] das
> > > neutrale Element der Multiplikation.
>
> Wenn ich aber nun etwas in der Form [mm]\IZ/m\IZ[/mm] (m>0) sehe,
> kann ich mir das doch wie folgt vorstellen, oder?
>
> [mm]\IZ/m\IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\overline{0}, \overline{1},[/mm] ... ,
> [mm]\overline{m-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} = { { ..., -2m, -m, 0, m, 2m, ...}, {...,
> -(2m+1),-(m+1), 1, m+1, 2m+1,...},..., {..., -(3m-1),
> -(2m-1), m-1, 2m-1, 3m-1,...}}
>
>
> Und wenn ich sowas habe, dann weiß ich doch aber schon
> automatisch, dass die Charakteristik davon gleich m ist,
> oder?
Genau. :)
> Kann man sagen, dass [mm]\IZ/p\IZ[/mm] = [mm]\IF_p[/mm] (p: Primzahl) gilt,
> dass also [mm]\IZ/m\IZ[/mm] genau dann immer ein Körper ist, wenn m
> eine Primzahl ist. Und wenn aber in [mm]\IZ/m\IZ[/mm] das m eine
> Primzahlpotenz ist, dann ist [mm]\IZ/m\IZ[/mm] kein Körper, d.h
> also [mm]\IZ/m\IZ \not= \IF_m.[/mm] Und ich muss mir dieses [mm]\IF_m[/mm]
> irgendwie anders vorstellen;
Ja.
> nämlich als Menge von Polynomen. Richtig??
Das ist eine Möglichkeit, ja.
>
> Und könnte ich mir dieses [mm]\IF_m[/mm] dann eigentlich auch als
> Menge von Tupeln vorstellen. Also zum Beispiel für [mm]\IF_8[/mm] =
> {(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),
> (1,1,0),(1,1,1)}. Geht das?
Das könntest du. Die Frage ist jetzt nur, wie du Addition und Multiplikation definierst.
Du kannst auch 8 ganz beliebige Elemente nehmen, das einzig wichtige ist, wie Addition und Multiplikation definiert sind.
> > > Die Addition ist bereits vollständig definiert, wenn
> du
> > > bedenkst, dass [mm]\IF_8[/mm] Charakteristik [mm]2[/mm] haben soll, also
> > > [mm]x+x=2x = 0[/mm] für alle [mm]x \in \IF_8[/mm].
>
> Das verstehe ich leider nicht ganz. Wieso kann man jetzt
> einfach aufgrund der Tatsache, dass für alle x [mm]\in \IF_8[/mm]
> x+x=0 gilt, sagen, dass die Addition in [mm]\IF_8[/mm] bereits
> vollständig definiert ist? Warum hier x+x =0 ist, ist mir
> klar. Aber was gilt denn für zwei verschiedene Elemente a,
> b [mm]\in \IF_8.[/mm] Also: a+b = ?
Gib mir zwei beliebige Elemente aus [mm] $\IF_8$, [/mm] und ich kann dir sagen, was ihre Summe ist. :)
Zum Beispiel ist [mm] $(\alpha [/mm] + 1)+1 = [mm] \alpha+2 [/mm] = [mm] \alpha$.
[/mm]
> > > Um die Multiplikation
> > > vollständig zu definieren, müssen wir noch festlegen,
> > > dass [mm]\alpha^3 = \alpha+1[/mm] gelten soll.
> > > Dadurch kannst du alle Potenzen von [mm]\alpha[/mm], die [mm]\geq 3[/mm]
> > > sind, reduzieren.
>
> Bei dieser Aussage verstehe ich leider nicht, warum man
> jetzt einfach sagen darf, dass [mm]\alpha^3[/mm] = [mm]\alpha[/mm] +1 ist .
> Und warum dadurch die Multiplikation in [mm]\IF_8[/mm] festgelegt
> ist. Wenn ich dann z.B. das Produkt von [mm]\alpha[/mm] und [mm](\alpha[/mm]
> +1) berechnen will komme ich als Ergebnis auf [mm]\alpha^4.[/mm]
> Aber das ist doch gar kein Element aus dem oben
> beschriebenen Körper [mm]\IF_8,[/mm] den ich mir als Menge von
> Polynomen vorstellen sollte? Oder wie muss ich mir die
> Multiplikation vorstellen, die man aufgrund der Festlegung
> [mm]\alpha^3[/mm] = [mm]\alpha[/mm] +1 definieren kann?
Du willst [mm] $\alpha \cdot (\alpha [/mm] + 1)$ berechnen?
Das ist [mm] $\alpha^2+\alpha$.
[/mm]
Meinst du [mm] $\alpha^2 \cdot (\alpha^2+1)$ [/mm] ?
Das ist [mm] $\alpha^4 [/mm] + [mm] \alpha^2 [/mm] = [mm] \alpha\cdot \alpha^3 [/mm] + [mm] \alpha^2 [/mm] = [mm] \alpha \cdot(\alpha+1) [/mm] + [mm] \alpha^2 [/mm] = [mm] \alpha^2+\alpha+\alpha^2 [/mm] = [mm] 2\alpha^2+\alpha=\alpha$.
[/mm]
Hierbei habe ich bei der zweiten Umformung benutzt, dass [mm] $\alpha^3=\alpha+1$.
[/mm]
Auf die Art kannst du alle Produkte von Elementen aus [mm] $\IF_8$ [/mm] ausrechnen und erhältst wieder Elemente aus [mm] $\IF_8$.
[/mm]
Die Festlegung [mm] $\alpha^3=\alpha+1$ [/mm] scheint recht willkürlich, kommt aber wie felix schon gesagt hat daher, dass man hier mit Restklassenringen des Polynomrings arbeitet.
> > um das noch etwas zu praezisieren: hier wird das Modell
> > [mm]\IF_8 = \IF_2[X]/(X^3+X+1)[/mm] betrachtet.
> >
> > Dies funktioniert, da [mm]X^3 + X + 1[/mm] irreduzibel von Grad 3 in
> > [mm]\IF_2[X][/mm] ist. Damit hat der entsprechende Faktorring [mm]2^3 = 8[/mm]
> > Elemente und ist ein Koerper.
> >
> > LG Felix
> >
>
> Vielen Dank schon mal für jede weitere Hilfe!
> Viele Grüße, Ellie
lg
Schadow
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Do 17.10.2013 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo zusammen,
habe einiges schon ein wenig besser verstanden, hoffe ich. Allerdings habe ich trotzdem nochmal ein paar Rückfragen.
> Du willst [mm]\alpha \cdot (\alpha + 1)[/mm] berechnen?
> Das ist [mm]\alpha^2+\alpha[/mm].
> Meinst du [mm]\alpha^2 \cdot (\alpha^2+1)[/mm] ?
Ja, das meinte ich wohl. Habe mich irgendwie verschrieben.
> Das ist [mm]\alpha^4 + \alpha^2 = \alpha\cdot \alpha^3 + \alpha^2 = \alpha \cdot(\alpha+1) + \alpha^2 = \alpha^2+\alpha+\alpha^2 = 2\alpha^2+\alpha=\alpha[/mm].
Ok, das habe ich wohl verstanden. Ich kann also zwei Polynome aus [mm] \IF_8 [/mm] miteinander multiplizieren, indem ich erst die zwei Polynome ganz normal miteinander multipliziere und anschließend kann ich benutzen dass die Gleichung [mm] T^3+T+1=0 [/mm] jetzt eine Lösung haben soll, die sie ja in [mm] \IF_2 [/mm] nicht hat. Dieses Vorgehen führt mich dann wieder zu einem Element in [mm] \IF_8. [/mm] Kann man das so sagen?
Man kann aber doch auch in [mm] \IF_8 [/mm] multiplizieren, indem man zuerst die beiden Polynome miteinander ganz normal multipliziert und das so erhaltene Ergebnis durch das Polynom [mm] T^3+T+1 [/mm] mit Rest dividiert. Der so erhaltene Rest stellt dann doch mein endgültiges Ergebnis der Multiplikation dar. Kann man das so sagen?
> Hierbei habe ich bei der zweiten Umformung benutzt, dass
> [mm]\alpha^3=\alpha+1[/mm].
> Auf die Art kannst du alle Produkte von Elementen aus
> [mm]\IF_8[/mm] ausrechnen und erhältst wieder Elemente aus [mm]\IF_8[/mm].
> Die Festlegung [mm]\alpha^3=\alpha+1[/mm] scheint recht
> willkürlich, kommt aber wie felix schon gesagt hat daher,
> dass man hier mit Restklassenringen des Polynomrings
> arbeitet.
>
> > > um das noch etwas zu praezisieren: hier wird das Modell
> > > [mm]\IF_8 = \IF_2[X]/(X^3+X+1)[/mm] betrachtet.
> > >
> > > Dies funktioniert, da [mm]X^3 + X + 1[/mm] irreduzibel von Grad 3 in
> > > [mm]\IF_2[X][/mm] ist. Damit hat der entsprechende Faktorring [mm]2^3 = 8[/mm]
> > > Elemente und ist ein Koerper.
Da ich noch nicht den totalen Überblick habe, ist es für mich noch nicht offensichtlich, warum der entsprechende Faktorring genau dann 8 Elemente hat, wenn das Polynom (welches das Ideal erzeugt) irreduzibel ist.
> > >
> > > LG Felix
> > >
> >
> > Vielen Dank schon mal für jede weitere Hilfe!
> > Viele Grüße, Ellie
>
>
Viele Grüße, Ellie!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Do 17.10.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, du multiplizierst beide Polynome ganz normal und rechnest danach einfach modulo [mm] T^3+T+1. [/mm] Das Ergebnis ist dann wieder ein Polynom von höchstens Grad 2, dass du in deiner Liste von Körperelementen wiederfindest.
[mm] K=\mathbb{F}_2[X]/(X^3+X+1) [/mm] hat 8 Elemente, weil du dir K als Menge der Reste modulo dem Polynom [mm] X^3+X+1 [/mm] vorstellen kannst. Das können ja nur alle Polynome von Grad 2 oder kleiner sein. Also $0, 1, X, X+1, [mm] X^2, X^2+1, X^2+X, X^2+X+1$. [/mm] Insgesamt also [mm] 8=2^3. [/mm]
Auch der Ring [mm] R=\mathbb{F}_2[X]/(X^3) [/mm] hat 8 Elemente, aus dem selben Grund wie oben. Jedoch ist R kein Körper, da [mm] X^3 [/mm] nicht irreduzibel ist. Oder eben weil [mm] \underbrace{X}_{\not=0}*\underbrace{X^2}_{\not=0}=X^3=0 [/mm] in R gilt.
K jedoch ist ein Körper, weil zusätzlich [mm] X^3+X+1\in\mathbb{F}_2[X] [/mm] irreduzibel ist!
Soll heißen: Die Anzahl der Elemente ist nur vom Grad des Polynoms (hier: 3) und der Anzahl der Elemente im Grundkörper des Polynomrings (hier: 2, wegen [mm] \mathbb{F}_2) [/mm] abhängig .
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